Sobolev方程的H1-Galerkin時(shí)空混合有限元分裂格式

常曉慧,李 宏,何斯日古楞

(內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特010021)

§1 引 言

考慮具有Dirichlet邊界條件的一維Sobolev方程

其中空間區(qū)間I=[a,b],時(shí)間區(qū)間J=(0,T].f(x,t)是源函數(shù),u0(x)是已知初值函數(shù),a(x)是充分光滑的有界函數(shù),且存在正常數(shù)amin和amax滿足0

Sobolev方程廣泛應(yīng)用于滲透理論,土壤中濕氣遷移等實(shí)際物理問題,是一類重要的發(fā)展型偏微分方程.該方程刻畫的流體在高聚物中的滲透和擴(kuò)散現(xiàn)象伴隨有以定常速度運(yùn)動(dòng)的陡峭峰線前沿,稱之為non-Fickian現(xiàn)象.因此人們不僅關(guān)心流體在滲透和擴(kuò)散中的濃度,同時(shí)還關(guān)注non-Fickian現(xiàn)象發(fā)生的時(shí)間與位置(濃度的梯度)和通過多孔介質(zhì)時(shí)滲透流體通量(伴隨向量).由于Sobolev方程實(shí)際計(jì)算域的不規(guī)則或問題本身的復(fù)雜性,解析求解比較困難,因此提出很多數(shù)值方法,如早期的差分方法[1],文[2,3]中分別利用兩種不同的降階外推有限差分方法研究Sobolev方程.用有限元方法求解也得到快速發(fā)展,文[4]中用標(biāo)準(zhǔn)Galerkin方法討論了一維非線性Sobolev方程,證明了2≤p≤∞時(shí)的Lp誤差估計(jì);文 [5]研究了具有非線性邊界條件的非線性Sobolev方程的有限元方法;文[6,7]提出了非協(xié)調(diào)有限元方法.文[8]研究了降階外推配譜法,文 [9]討論了降階外推CN有限體積元法.1998年P(guān)ani在 [10]中提出H1-Galerkin混合有限元方法,并進(jìn)一步應(yīng)用于研究拋物型積分微分方程[11]和二階雙曲方程[12],該方法利用具有不同次數(shù)的多項(xiàng)式空間作為逼近空間,可以避免傳統(tǒng)混合有限元方法中的LBB相容性條件.文[13]利用H1-Galerkin混合有限元法研究了Sobolev方程.2014年,文[14]提出了H1-Galerkin混合……