微極流方程組強解的爆破準則

張 輝,程景順

(安慶師范大學數(shù)理學院,安徽安慶246133)

§1 引 言

三維空間中不可壓縮微極流(Micropolar Fluid)方程組描述如下:

其中u=(u1,u2,u3)表示速度場,p是壓強,ω=(ω1,ω2,ω3)是微旋度場.μ,κ,γ,ν是各種粘性系數(shù).

微極流方程組由Eringen[1]于1966年首次提出,方程組刻畫了一些具體的物理現(xiàn)象,如:血液的流動,液晶分子運動等.由于微極流方程組的結構蘊含了Navier-Stokes方程的結構(χ=0,ω=0),因此相比較不可壓縮Navier-Stokes方程組,微極流方程組的結構更加復雜.在三維不可壓Navier-Stokes方程組的研究中一個重要的問題就是弱解的正則性問題,或者說強解的爆破性問題,從某種角度看,這是同一個問題.1962年Serrin[2]提出了一個關于速度場的正則性準則,即弱解u(t,x)滿足

則弱解實際是唯一的強解.在Serrin工作的基礎上,有許多數(shù)學家對其結果進行了改進和推廣.特別地,能否在速度場或速度場梯度或旋度的部分分量上加上類似的條件成為近年來的研究熱點[3-6];由于結構上的相似性,將Navier-Stokes方程的正則性準則推廣到其他的流體力學方程組也是近期非常活躍的研究方向,從已獲得的結果大致可以看出,正則性準則一旦涉及到部分分量的時候,情況就會變得復雜,例如在MHD方程的涉及部分分量的正則性準則中大多需要加入磁場的部分分量來平衡速度場缺失的分量,有興趣的讀者可以參考[7-11].關于微極流方程Lukaszewicz,Galdi等人[12-14]在全空間和有界區(qū)域上考慮了微極流方程組解的存在性與唯一性,近期陳瓊蕾與苗長興[15]在Besov空間考慮了微極流方程組的適定性問題,更……