隨機(jī)觀察時間對偶風(fēng)險(xiǎn)模型中的期望折現(xiàn)罰函數(shù)

江五元,黃 俊

(湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南岳陽414006)

§1 引 言

在保險(xiǎn)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中,許多研究者研究了經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的對偶模型.如[1]研究了帶紅利界策略的對偶模型中的期望折現(xiàn)紅利支付,當(dāng)收益為指數(shù)分布或混合指數(shù)分布時得到了明確的計(jì)算公式,并證明了在對偶模型中,最優(yōu)紅利界獨(dú)立于初始資本.[2]考慮了擴(kuò)散干擾對偶模型,分析了紅利界的最優(yōu)問題.[3]將經(jīng)典對偶風(fēng)險(xiǎn)模型推廣到廣義Erlang(n)對偶模型,得到了破產(chǎn)時間的明確表達(dá)式.[4]研究了帶利率的復(fù)合資產(chǎn)模型,得到了生存概率與破產(chǎn)概率的積分-微分方程.[5]討論了負(fù)風(fēng)險(xiǎn)和的更新風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率.

考慮對偶風(fēng)險(xiǎn)模型

其中u>0為初始資本,c>0表示單位時間的消費(fèi)支出,{S(t):t≥0}為到時間t的總收入.該模型可以模擬以研究和開發(fā)為主營業(yè)務(wù)的公司的資金流,同時也可以應(yīng)用于人壽保險(xiǎn)公司.對對偶模型的進(jìn)一步了解,讀者可以參考相關(guān)文獻(xiàn),如[6-8].

已有文獻(xiàn)對對偶模型的研究都假設(shè)公司盈余是連續(xù)觀察的,實(shí)際上公司財(cái)務(wù)狀況應(yīng)是每隔一定的時間段才進(jìn)行觀察,如財(cái)務(wù)報(bào)表每年或每季度發(fā)布一次.基于此,本文研究文獻(xiàn)[9]的對偶情形,考慮了財(cái)務(wù)觀察時間間距分別服從指數(shù)分布和Erlang(n)分布的對偶風(fēng)險(xiǎn)模型中的期望折現(xiàn)罰函數(shù).同時也將[10]的指數(shù)分布觀察時間間距推廣到Erlang(n)分布的情形.

U(k)=U(k?1)?cιk+[S(?k)?S(?k?1)],k=1,2,···,

其中,U(0)=R(0)=u.破產(chǎn)時間記為T=?k?,k?=inf{k≥1:U(k)<0},即當(dāng)盈余為負(fù)時的首次觀察時間.因此在模型(1.1)中,當(dāng)盈余為負(fù)時,如果沒被觀察到破產(chǎn)仍然沒有發(fā)生.

若破產(chǎn)發(fā)生,在最近一次觀察時間的破產(chǎn)前盈余為U(k??1),破產(chǎn)赤字為|U(k?)|.破產(chǎn)概率為

ψ(u)=Pr(T<∞|R(0)=u)=E{I(T<∞)|U(0)=u},

其中I(……