幾何畫板在初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題教學(xué)中的應(yīng)用探究

趙青青

摘 要隨著信息化的發(fā)展和新課程改革對教師提出提高信息素養(yǎng)的要求，而幾何畫板作為一個(gè)輔助教學(xué)軟件開始廣泛應(yīng)用到數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中。本文將從幾何畫板簡單易操作、動態(tài)直觀、交互性強(qiáng)的特點(diǎn)出發(fā)，通過分析初中數(shù)學(xué)中考常見的動點(diǎn)問題的解題思路來對比說明利用幾何畫板輔助數(shù)學(xué)教學(xué)可以將動態(tài)變化問題化動為靜，這將有利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞幾何畫板;初中數(shù)學(xué);動點(diǎn)問題;輔助教學(xué)

中圖分類號：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2020）33-0120-02

在中考數(shù)學(xué)中，動點(diǎn)問題一直是一個(gè)“熱點(diǎn)”，且多為壓軸題。這類問題大多都有綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大、條件隱晦的特點(diǎn)，對學(xué)生來說比較抽象難懂，即使老師花大量時(shí)間講解，一些基礎(chǔ)較弱的學(xué)生也很難理解，所以這類問題也是學(xué)生和老師的一個(gè)痛點(diǎn)。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求教師要在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象，直觀想象等核心素養(yǎng)。幾何畫板作為一種輔助教學(xué)軟件，在培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力和解決動態(tài)變化問題中體現(xiàn)了其獨(dú)特的優(yōu)勢。

一、幾何畫板的介紹

（一）幾何畫板的概念

幾何畫板是一個(gè)作圖與動畫的輔助教學(xué)軟件，該軟件可以幫助用戶根據(jù)教學(xué)的需求編制出圖像和動畫過程。幾何畫板多用于物理和數(shù)學(xué)的課件制作，它不需要使用者有較高的計(jì)算機(jī)水平，只需要熟悉軟件的基本功能即可操作。

（二）幾何畫板的特點(diǎn)

1.繪圖方便，容易操作

幾何畫板操作簡單，易學(xué)易用，僅需要掌握它的工具欄和菜單，不需要任何編程技術(shù)。因?yàn)樗饕抢糜邢薜墓ぞ哌M(jìn)行組合、變化來繪制需要的圖形，所以對教師來說學(xué)會利用軟件優(yōu)化教學(xué)方式比學(xué)會軟件本身更重要。

2.動態(tài)直觀，揭示規(guī)律

幾何畫板有添加動畫的功能，它可以將圖形的變化過程直接呈現(xiàn)出來，且在運(yùn)動過程中圖形本身的幾何關(guān)系不會發(fā)生改變。學(xué)生可以在觀察圖形的運(yùn)動過程中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)、揭示規(guī)律，獲得解題思路，從而降低問題的難度。

3.交互性強(qiáng)，激發(fā)興趣

幾何畫板具有很強(qiáng)的交互性，這也為新課程改革提出的探究式教學(xué)提供了一個(gè)很好地平臺。教師在教學(xué)過程中利用幾何畫板動態(tài)的演示教學(xué)內(nèi)容，使抽象的知識形象化，學(xué)生可以親身體驗(yàn)知識的形成過程，這充分調(diào)動了學(xué)生的積極性，啟發(fā)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生探索知識的興趣。

二、利用幾何畫板解決動點(diǎn)問題的必要性

（一）直觀展示圖形運(yùn)動和生成過程

動點(diǎn)問題的難點(diǎn)在于分析題目中動點(diǎn)的運(yùn)動過程變化，而幾何畫板則可以通過動畫功能將動點(diǎn)的運(yùn)動過程動態(tài)地演示出來。學(xué)生可以通過模擬的運(yùn)動過程直觀地觀察出題目中動點(diǎn)運(yùn)動引起的圖形變化過程，然后可以將運(yùn)動過程分時(shí)間段討論，從而使問題變得簡單。所以幾何畫板的使用克服了教師解決動點(diǎn)問題的難點(diǎn)，借助幾何畫板可以將一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動過程分為幾段簡單的運(yùn)動過程進(jìn)行分類討論。

（二）容易實(shí)現(xiàn)問題探究過程

在解決動點(diǎn)問題的過程中，題目往往會給出圖形的形狀、邊的長度、角的度數(shù)，甚至?xí)髮D形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)等變換。這些探究過程通過手工作圖難易實(shí)現(xiàn)或誤差較大，而幾何畫板具有強(qiáng)大的功能，它的繪圖、測量、動畫、變換等功能可以還原題目中所有的條件從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)探究的過程。借助幾何畫板可以將動點(diǎn)問題中的圖形生成過程還原，為解決動點(diǎn)問題提供了強(qiáng)大的平臺。

（三）幾何關(guān)系不變，化動為靜

幾何圖形中隱藏的幾何關(guān)系或規(guī)律是教師們解決動點(diǎn)問題的制勝法寶。雖然點(diǎn)在圖形上是移動的，但是圖形中蘊(yùn)含的幾何關(guān)系是始終不變的，要解決動點(diǎn)問題就需要教師們找出其中的幾何關(guān)系。幾何畫板有一個(gè)顯著的特點(diǎn)就是不改變幾何關(guān)系，所以利用幾何畫板可以將問題化動為靜，找出不變的幾何關(guān)系，獲取解題思路，從而解決問題。

三、幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）利用幾何畫板展現(xiàn)數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣

幾何畫板中的變換菜單可以將數(shù)學(xué)中的圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射等迭代等變換，將簡單的圖形變換為具有對稱美等數(shù)學(xué)美的圖形。利用幾何畫板進(jìn)行圖形變換可以改變大眾普遍認(rèn)為的數(shù)學(xué)是枯燥、乏味的計(jì)算、推理的想法，它可以使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，也有它獨(dú)特的數(shù)學(xué)美。例如，在學(xué)習(xí)“中心對稱”這一節(jié)課時(shí)，一些空間感較差的學(xué)生想象不到一個(gè)圖形繞著一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°會變成什么樣子。這時(shí)教師就可以利用幾何畫板的變換功能實(shí)現(xiàn)中心對稱的過程，需要教師先做出圖形，然后標(biāo)記中心，最后選擇變換里的旋轉(zhuǎn)功能，將旋轉(zhuǎn)角度設(shè)置為180°即可。通過幾何畫板做出的中心對稱和軸對稱等都是非常規(guī)范的，它們在結(jié)構(gòu)上都具有對稱美，這樣可以使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)美，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

（二）利用幾何畫板展示數(shù)學(xué)探究過程，促進(jìn)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動

幾何畫板的度量等菜單可以在數(shù)學(xué)探究過程中直接測量出圖形中的邊長、角度、面積等。在數(shù)學(xué)探究過程中根據(jù)幾何畫板測量出的數(shù)據(jù)來確定圖形的形狀以及它們之間的位置關(guān)系。幾何畫板的操作簡單，它可以使不同水平的學(xué)生都可以直接通過度量的數(shù)據(jù)得到結(jié)論和規(guī)律，從而親身參與到數(shù)學(xué)的探究活動中來。例如，在學(xué)習(xí)《平行四邊形的性質(zhì)》這一節(jié)課時(shí)，學(xué)生可能很難在課堂上有限的時(shí)間里發(fā)現(xiàn)平行四邊形的所有性質(zhì)，這個(gè)時(shí)候教師可以利用幾何畫板做出平行四邊形的對角線并度量出所有的邊長、角度，那么學(xué)生就可以輕松地根據(jù)度量的邊長和角度發(fā)現(xiàn)平行四邊形的性質(zhì)。利用幾何畫板可以讓各個(gè)水平的學(xué)生都能參與到數(shù)學(xué)探究活動中，讓學(xué)生感受知識形成的過程，加深了學(xué)生對新知識的理解。

（三）利用幾何畫板動態(tài)展示問題，抽象問題直觀化

幾何畫板的動畫功能可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)中一些比較復(fù)雜的運(yùn)動問題，從而將抽象的運(yùn)動過程進(jìn)行直觀的演示。教師可以從幾何畫板中的動畫演示過程發(fā)現(xiàn)運(yùn)動過程中不變的規(guī)律或者可以將運(yùn)動過程進(jìn)行分解，這樣就可以把一個(gè)復(fù)雜的動態(tài)變化問題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)較為簡單的靜態(tài)問題，達(dá)到“化動為靜”的目的。下面以2019年吉林的中考數(shù)學(xué)中的一個(gè)兩動點(diǎn)運(yùn)動問題來說明幾何畫板的使用可以將抽象問題直觀化。

例：如圖，在矩形中，，，為邊上一點(diǎn)，，連接。動點(diǎn)，從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動;點(diǎn)以的速度沿折線向終點(diǎn)運(yùn)動。設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動的時(shí)間為，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)，點(diǎn)經(jīng)過的路線與線段圍成的圖形面積為。

（1），=;

（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍;

（3）當(dāng)時(shí)，直接寫出的值。

解析：首先在幾何畫板中繪制出兩點(diǎn)的運(yùn)動過程，我們會發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)的運(yùn)動軌跡與線段圍成的圖形有以下三種情況：第一種情況如圖1，點(diǎn)在線段上，兩點(diǎn)運(yùn)動軌跡與線段圍成的圖形為三角形，此時(shí)在線段上運(yùn)動;第二種情況如圖2，點(diǎn)在線段上，兩點(diǎn)運(yùn)動軌跡與線段圍成的圖形為直角梯形，此時(shí)點(diǎn)在線段上運(yùn)動至點(diǎn)與點(diǎn)E重合;第二種情況如圖3，點(diǎn)在線段上，兩點(diǎn)運(yùn)動軌跡與線段圍成的圖形為直角梯形，此時(shí)點(diǎn)仍與點(diǎn)E重合且停止運(yùn)動。

所以，會發(fā)現(xiàn)運(yùn)動過程總共為，所以自變量的取值范圍是;兩點(diǎn)運(yùn)動軌跡與線段圍成的圖形面積變化有兩個(gè)臨界點(diǎn)，一個(gè)是點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)時(shí)間;第二個(gè)臨界點(diǎn)是點(diǎn)與點(diǎn)E重合時(shí)，此時(shí)時(shí)間，所以在解答時(shí)要將自變量分為3類進(jìn)行討論，分別為：，，。

四、幾何畫板輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的建議

（一）注意使用的度，分清主次關(guān)系

雖然幾何畫板功能強(qiáng)大，簡單便捷，但是教師在教學(xué)過程中不能忽視它的輔助作用，不能在上一節(jié)課時(shí)大量地使用幾何畫板教學(xué)，以免喧賓奪主。如果沒有把握好使用的度，學(xué)生的注意力將會轉(zhuǎn)移到幾何畫板的操作上，這樣會使教師的教學(xué)內(nèi)容偏離教學(xué)目標(biāo)。

（二）選取合適內(nèi)容，掌握課堂節(jié)奏

并不是每一節(jié)數(shù)學(xué)內(nèi)容都適合利用幾何畫板輔助教學(xué)，所以教師在使用之前一定要選擇合適的教學(xué)內(nèi)容，這里的教學(xué)內(nèi)容多以圖形的性質(zhì)探究為主。雖然幾何畫板可以提高課堂效率，但是教師在教學(xué)過程中一定要把握好課堂的節(jié)奏，要留給學(xué)生充足的時(shí)間進(jìn)行思考。

（三）改善教學(xué)方式，探究式教學(xué)為主

幾何畫板在中學(xué)課堂上的普及要求教師改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，教師在幾何畫板上給出圖形的變化或生成過程之后，不再是傳統(tǒng)的給出性質(zhì)讓學(xué)生驗(yàn)證，而是應(yīng)該把課堂交給學(xué)生，留給學(xué)生充足的想象和思考空間去探究和發(fā)現(xiàn)。教師也可以讓學(xué)生自己操作幾何畫板，親身體驗(yàn)知識的形成過程。

五、總結(jié)

在解決初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題時(shí)，巧用幾何畫板輔助解題教學(xué)可以起到事半功倍的作用。幾何畫板作為一種強(qiáng)大的輔助教學(xué)工具，它可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題探究過程，直觀演示圖形的生成或變化過程，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。根據(jù)新課標(biāo)及信息化發(fā)展的要求，教師應(yīng)提高自己的信息素養(yǎng)，改進(jìn)教學(xué)方式，學(xué)會利用信息化手段輔助教學(xué)，以彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)模式的不足，提高課堂效率，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

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