談一題多變與延伸

王友平

【摘要】數學題是做不完的，如何少做題而達到學好數學的目的？本文通過高等數學的一道習題進行多變與延伸，說明數學題目盡管廣泛無邊，但很多題目都有其內在的聯系。所以要學好數學，務必要善于思考，舉一反三，觸類旁通，挖掘其相關知識的銜接與聯系，進行題型多變與知識延伸，達到學好數學的目的。

【關鍵詞】題型多變? ?知識延伸

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）29-086-02

數學離不開做題，怎樣才能做到少而精，達到事半功倍的效果呢？這就需要挖掘其相關知識的銜接與聯系，進行比較與延伸，將題目進行多方位推廣。以下從典型事例談起。

例1? 若f（x）在[a，b]上連續，a

證明：因為f（x）在[x1，xn]上連續，所以f（x）在[x1，xn]上存在最大值M和最小值m.即m≤ f（x）≤M.于是

m≤ f（x1）≤M，

m≤ f（x2）≤M，...

m≤ f（xn）≤M

上面的式子相加： nm≤ f（x1）+f（x2）+...+ f（xn） ≤nM

m≤? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≤M.

由介值定理的推論，至少存在一點ζ∈[x1，xn]，使

f（ζ）=

本題的結論特征是存在某點，使得該點的函數值與n個點的函數均值相等，即f（ζ）=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。在遇到多個函數值之和的情形，或者多個函數均值問題，可考慮此題的結論。

延伸1：若f（x）在[a，b]上連續，a

使2f（ζ）=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

證明：因為f（x）在[x1，xn]上連續，所以f（x）在[x1，xn]上存在最大值M和最小值m.即m≤ f（x）≤M，于是

m≤ f（x1）≤M，

2m≤2f（x2）≤2M，...

nm≤ nf（xn）≤nM

上面的式子相加：

（1+2+...+n）m≤ f（x1）+2 f（x2）+...+n f（xn）≤（1+2+...+n）M

m≤? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≤M .

由介值定理的推論，至少存在一點ζ∈[x1，xn]，使

2f（ζ）=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

延伸2：若f（x）在[a，b]上連續，a

使f（ζ）=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

證明：因為 f（x）在[x1，xn]上連續，所以f（x）在[x1，xn]上存在最大值M和最小值m.即m≤ f（x）≤M，于是

p1m≤ p1f（x2）≤p1M，

p2m≤p2f（x2）≤p2M，...

pnm≤ pnf（xn）≤ pnM.

（p1+p2+...+pn）m≤ p1f（x1）+ p2f（x1）+... pnf（x1）≤（p1+p2+...+pn）M

由介值定理的推論，至少存在一點ζ∈[x1，xn]，使

f（ζ）=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

延伸3：若f（x）在[a，b]上連續，a

f（ζ）=

例2? 若f（x）在[0，3]上連續，在（0，3）內可導，且f（0）+f（1）+f（2）=3，f（3）=1.

證明在區間（0，3）內內必有ζ，使f（ζ）= 0.

分析：這是2003年碩士研究生入學考試數學三的題目。由已知的三個函數值之和f（0）+f（1）+f（2）=3，聯想例1的結論，易得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=1.

再由f（3）=1，可導有兩個點的函數值相等，由洛爾中值定理可證明之。

證明：由于f（x）在[0，3]上連續，以及? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=1得，在區間[0，2]上存在一點η，使

f（η）=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =1

又由f（3）=1得，函數f（x）在[η，3]上連續，在（η，3）內可導，由羅爾定理可得，存在ζ∈（ η，3）?（0，3），使得f'（ζ）=0 .

例3? 若f（x）在[0，3]上連續，在（0，3）內二階（下轉第88頁）（上接第86頁）可導，且2f（0）=∫02f（x）dx=f（2）+f（3）.

證明 （1）在區間[0，2]上存在一點η，使得f（η）=f（0）;

（2）存在ζ∈（0，3），使得f''（ζ）=0.

分析：這是2010年碩士研究生入學考試數學二的題目。由已知的兩個函數值之和2f（0）=∫02f（x）dx=f（2）+f（3），聯想例1的結論，易得

f（0）=? ? ?∫02f（x）dx=? ? ? ? ? ? ? ? .

所以，本例可以考慮積分中值定理，也可以考慮上面兩個函數值均值的結論。

證明：（1）由于f（x）在[0，3]上連續，考慮積分中值定理得，在區間[0，2]上存在一點η，使得f（0）=? ?∫02f（x）dx=f（η）.

（2）由于f（x）在[0，3]上連續，以及f（0）=? ? ? ? ? ?，由例1的結論，在區間[2，3]上存在一點η1，使得f（0）=f（η1）。

又f（x）在[0，η]上連續，在（0，η）內可導，且f（η）=f（0），由羅爾定理可得，在（0，η）內存在一點在ζ1，使得f'（ζ1）=0.同理在（η，η1）內存在一點在ζ2，使得f'（ζ2）=0.

再在內（ζ1，ζ2），對f'（x）使用羅爾定理可得，存在ζ∈（ζ1，ζ2）?（0，3），使得f''（ζ）=0。

【基金項目：本文受陜西省教改項目“面向三本的高等數學課程體系優化及教學內容改革的研究與實踐”[項目編號：15BY132] 資助】

【參考文獻】

[1] 同濟大學數學系編寫.高等數學（第七版）[M].北京：高等教育出版社.2014.

[2] 馬菊俠，程紅英編寫.高等數學（第一版）[M].北京：國防工業出版社.2015.

[3] 馬菊俠編寫.高等數學.題型歸類，方法點撥，考研輔導（第三版）[M].北京：國防工業出版社.2014.

[4] 馬菊俠，吳云天編寫.高等數學.同步知識解讀與習題解答（第一版）[M].北京：國防工業出版社.2014.