小議一元二次方程根的判別式的作用

王興濤 于志東

(山東省青州第一中學)

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判別式為Δ＝b2－4ac.

當Δ＝b2－4ac＞0時,方程有兩個不相等的實數根

當Δ＝b2－4ac＝0時,方程有兩個相等的實數根

當Δ＝b2－4ac＜0時,方程無實數根.

這是初中學習過的,在高中數學解題中常常用到,主要作用有以下九種.

1 求解函數的定義域問題

由于函數f(x)是二次根式的形式,被開方式需大于或等于零,因此將問題轉化為求解x2＋2ax－a≥0,進而用判別式Δ≤0求解.

2 求解存在性問題

例2 若命題“存在x0∈R,使得x20＋(a－1)x0＋1＜0”是真命題,則實數a 的取值范圍是________.

因為“存在x0∈R,使得x20＋(a－1)x0＋1＜0”是真命題,所以Δ＝(a－1)2－4＞0,解得a＜－1 或a＞3,故實數a的取值范圍是(－∞,－1)∪(3,＋∞).

含有量詞的命題的真假性判斷是高考的重點題型.本題欲求存在實數x使得不等式x20＋(a－1)x0＋1＜0成立,只需求解Δ＞0.

3 求解恒成立問題

例3 在R上定義運算?:x?y＝x(1－y),若不等式(x－a)?(x＋a)＜1對任意實數x恒成立,則實數a的取值范圍是_________.

因為(x－a)?(x＋a)＜1,所以(x－a)(1－x－a)＜1,即x2－x－a2＋a＋1＞0在R 上恒成立,所以Δ＝4a2－4a－3＜0,解得故實數a的取值范圍是

高考數學創新題型是通過給出一個新概念、約定一種新運算或給出幾個新模型來創設全新的問題情境.解答這類創新問題有三種方式:一是通過轉化,化“新”為“舊”;二是通過深入分析,多方聯想,以“舊”攻“新”;三是創造性地運用數學思想方法,以“新”制“新”.

4 求解函數的零點問題

例4 當m＝_____時,f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4的兩個零點均比－1大.

解得－5＜m＜－1,故當－5＜m＜－1時,f(x)的兩個零點均比－1大.

若函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零點均大于m,則

5 求最值問題

例5 已知實數a,b,c滿足a＋b＋c＝0,a2＋b2＋c2＝1,則a的最大值為_________.

由于問題是求a的取值范圍,因此把2b2＋2ab＋2a2－1＝0看作是關于b的一元二次方程,再用根的判別式求解.

6 求解圓錐曲線的關系問題

例6 已知拋物線和橢圓的方程分別為y2＝2mx＋5m,3x2＋4y2＝12,當m＝_________時,拋物線與橢圓相切.

將拋物線的方程代入橢圓的方程可得3x2＋8mx＋4(5m－3)＝0,則

求解本題時將曲線的交點個數轉化為一元二次方程的根的個數,進而由Δ的正負可確定一元二次方程的根的個數.

7 求解數列問題

例7 若實數a1,a2,a3,a4滿足(a21＋a22)a24－2a2(a1＋a3)a4＋a22＋a23＝0.求證:a1,a2,a3成等比數列,且公比為a4.

把已知條件看作關于a4的一元二次方程,則

所以a4是數列a1,a2,a3的公比.

求解本題時把已知條件看作關于a4的一元二次方程,由根的判別式來確定a1,a2,a3之間的關系.

8 求解集合間的關系問題

例8 設集合A＝{x|x2－3x＋2＝0},B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0},若A∪B＝A,則實數a的取值范圍是( ).

因為A∪B＝A,所 以B?A,因 為B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0},所以

當Δ＜0,即a＜－3時,B＝?,滿足條件.

當Δ＝0,即a＝－3時,B＝{2},滿足條件.

當Δ＞0,即a＞－3時,只有B＝{1,2}滿足條件.

綜上,實數a的取值范圍是a≤－3.

集合間的關系問題,一般是把集合化簡,由于A∪B＝A,則B?A,故需對方程x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0根的情況進行討論.

9 求函數表達式問題

分段函數是重要的函數類型,求解時要注意各個區間上的解析式的對應.

(完)