求解一類函數最值問題的思考方法

在高三數學練習中經常會遇到一類函數復合最值問題，即最大、最小關系相互鑲嵌在一起的最值問題，此類問題構思新穎，涉及知識面廣、綜合性強、靈活性大，有時讓人往往感到“有解法而無定法”，從而難以“親近”此類問題.本文結合具體例題給出解決此類問題的幾種常見的思考方法，但愿能給讀者些許啟發.

1 放縮配湊 實現定值

注 本題利用放縮、配湊思想，構造已知條件

x1？ x2？x3？x4？x5

=729這一定值是解決問題的關鍵，很

好地體現了學生的數學素養. 2 特征聯想 輔助求解

②例3求解的關鍵點在于：比較大小與創造基本不等式利用的條件，充分體現了解決函數最值與不等式綜合的優秀思維素養，體現了對數學思想方法運用的嫻熟.

3 設元變式 轉化求解

例4 （2011年清華保送生試題）求min{max{ x，|6|}}x？.

分析 本題屬于最值互嵌問題，通法是設M = max{|6|}xx？，，再得出M的不等式，解出M的范圍，從而得出M的最小值.

解 設max{|6|}Mxx=？，，

注 例4、例5均為將內層最值設出，然后利用已知條件尋找其滿足的不等關系，建立不等式是此類問題解決的關鍵.

注 ①對于內層函數含有絕對值符號的問題，常采用賦值放縮法進行求解；②此類問題解決的基本思想是：通過對函數的主變量賦予特殊函數值得到第二類變量滿足的不等式，再利用放縮法得到上界（或下界），然后指出能取到所得的界即可.

以上介紹了解決函數復合最值問題的幾種常用思考方法.值得注意的是，各種方法并非孤立存在的，它們是相互聯系，彼此滲透的.有時一個問題的解決需多法并舉，有時一個問題又會有多種解法，解題的關鍵在于對方法的思考與選擇.