利用幾何畫板進行 初中生數學核心素養培養的探究

王梧 劉萬中

摘要：幾何畫板作為信息技術環境下的一個應用軟件，在初中幾何教學和學習中可以落實多種初中數學核心素養的培養要求。為此，可以利用幾何畫板在課堂實踐中進行發展幾何直觀、建立空間觀念、強化推理能力、培養模型應用和創新意識等方面的探索。

關鍵詞：初中數學;核心素養;信息技術;幾何畫板;數學實驗

為落實初中生數學核心素養的培養，六安市清水河學校承擔了六安市教育信息技術研究2019年度課題“信息技術環境下的初中數學核心素養培養的研究———以初中數學實驗為例”。幾何畫板作為初中數學課堂教學的一個高效軟件，備受數學教師和學生的關注和歡迎。課題組以幾何畫板為載體開展初中數學實驗，進而落實對初中生數學核心素養的培養要求。本文對課題組的前期研究成果進行小結，以期同人批評指正。

一、利用幾何變換發展幾何直觀和空間觀念

義務教育滬科版初中數學教科書“14.2命題與證明”中安排了讓學生探究“三角形的內角和等于180°”的活動。通過傳統的剪紙和拼圖的實驗活動，學生可以直觀地觀察到三角形的三個角可以共頂點地拼成一個平角，從而得出“三角形的內角和等于180°”的結論。這個結論也可以通過度量來獲得。但傳統的操作，無論是度量還是剪拼，學生都難以獲得準確的180°，而且學生在操作過程中也難以獲得進行推理的直接啟示。在教學中，筆者考慮到學生在小學階段就已經了解了這個結論，而且能進行簡單的應用，所以在課堂上沒有讓學生再進行度量和剪拼的操作，而是讓學生把注意力集中到觀察和思考中，觀察三個內角剪拼后所形成的圖形，然后讓學生思考該圖形是通過什么樣的幾何變換得到的。在多數學生苦思不得其解的情況下，筆者通過幾何畫板演示將∠2繞AC中點旋轉180°和將∠3沿BC平移而獲得該圖，使得學生豁然開朗，進而引發了學生進行推理論證的熱情，整個教學過程高效有趣，學生興趣盎然。

二、通過構建軌跡，強化推理能力和模型應用意識的培養

初中數學大量涉及動點運動探究問題，因該類問題立足于基本圖形，但靈活多變，思維容量大，所以歷來被作為培養數學能力和思維能力的良好載體。但動點運動的狀態隱而不顯，讓人捉摸不定，多數學生因在學習上有畏難情緒或幾何直覺不強、推理能力較弱，在面對該問題時往往是一籌莫展。

在教學中，筆者曾組織學生討論過該類問題，以其中一例闡述之。如圖1，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，E是邊AD的中點，F為邊BC上的一個動點，EG=EF，且∠GEF=60°，則GB+GC的最小值是多少？

多數學生在“兩定一動、求最小值”的條件啟示下，能較自然地聯想到該問題應該屬于或最后能轉化為“將軍飲馬”模型求解。“將軍飲馬”問題的核心是動點的軌跡為直線或線段，而本題中動點G運動后所形成的軌跡是難以判斷的，學生一時陷入困境。在課堂上，不少學生都能主動拿起直尺和圓規等作圖工具，不停地嘗試，經歷了多次操作后，仍是找不到突破口。此時，筆者利用幾何畫板展示點G的運動過程。利用幾何畫板構造軌跡的操作，將通過傳統實驗操作難以獲得的結果在信息技術的幫助下實現了可視化，形成了如圖2所示線段MN。筆者運用信息技術手段瞬間降低了思維難度，實現了數學思維的可視化，這是傳統的教學手段難以實現的。信息技術支持下的數學實驗，不僅使得實驗結果更直觀、探究更高效，而且能在實驗操作過程中尋找和發現形成數學結論的原理，引發數學思考。該題通過幾何畫板的操作，發現點G運動后形成的軌跡是線段MN。學生憑已有的幾何直覺，感知該問題可以轉化為“將軍飲馬”模型，線段MN所在的直線成了對稱軸，將圖形沿直線MN折疊后，發現點B與點E重合，線段GB與GE重合，從而得出GB=GE，進而將求解GB+GC最小值問題轉化為GE+GC最小值問題。通過在直線MN上移動點G的位置，可知當點C、點E和點G三點在同一條直線上時，GE+GC的值最小。筆者通過幾何畫板的實驗探究，使學生獲得了解題思路，同時使學生的推理能力和模型應用意識得到了較好的培養，也使信息技術與數學學科進行了深度融合。

三、利用實驗結果的多樣性，落實創新意識培養

通過幾何訓練能實現思維訓練，通過變式訓練能培養思維的敏捷性和思辨性。進行幾何變式訓練是我國基礎教育的優良傳統，積累了大量的經驗可供借鑒。然而相伴而生的應試教育也暴露出了不少弊端，教學中經常出現“去頭去尾燒中段”的做法。更有甚者，只是讓學生記住結論，然后大量地套用結論。這種教法和學法會讓學生逐漸喪失學習幾何的興趣，甚至會發展到厭惡數學的地步。

如何利用好幾何變式教學和訓練，達到變式教學本真的目的，這是筆者從教以來一直思考的問題。筆者在教學中也在不斷地大膽實踐，希望能突破困境。利用幾何畫板動態地展示問題的“前生與后世”，找準問題的生長點，引導學生觀察思考，大膽猜想，小心求證，常能激發起學生的好奇心且能較長久地保持學生的探究欲，實現發展學生數學核心素養的目的。

例如，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）。以AD為邊作正方形ADEF，連接CF。首先進行操作1：在幾何畫板中拖動點D的位置，使點D在線段BC上，引導學生從位置關系和數量關系兩方面去觀察，大膽說出自己的猜想。在大家熱烈的討論下，經過多輪爭辯，最后得出兩個重要的猜想：①BD⊥CF;②CF+CD=BC。筆者在肯定了這兩個猜想后，向學生提出了該如何證明的問題。在片刻的思考后，不少學生發現了△ABD=△ACF，從而找到了證明的關鍵。其余學生也恍然大悟，接著都完成了證明。

接著進行操作2：在直線BC上拖動點D的位置，改變圖形的形狀。學生看著變化的圖形，面面相覷。此時，筆者拋出問題：在圖形的變化中，你有什么發現？能夠提出什么問題？學生根據以往的學習經驗，提出在圖形的變化過程中是否存在不變量。結合第一次操作，學生提出來操作1中的兩個結論是否還成立。如圖3所示，當點D在線段BC的延長線上時，結論①仍成立，結論②不成立。那么，CF、BC、CD三條線段之間又蘊含著怎樣的數量關系呢？通過觀察不難發現：CF=BC+CD。通過△ABD=△ACF，不難證明發現的結論。

在完成操作2的探究后，筆者引導學生思考：還可能有什么樣的操作？對應的圖形會是什么？有一些學生經過自主探究，畫出了對應圖形。此時，筆者利用幾何畫板進行操作3：將點D拖至線段BC的反向延長線上，“在其他條件不變的情況下，CF、BC、CD三條線段又有著怎樣的數量關系”等問題自然生成，學生的探究水到渠成。

利用幾何畫板進行一系列實驗結果多樣性的操作探究，不僅使學生獲得了變式訓練的效果，更讓學生掌握了研究數學、發現新結論的常用方法和途徑。學生樂于探究，較為持久地保持了探究的興趣。

（本文系六安市教育信息技術立項課題“信息技術環境下的初中數學核心素養培養的研究”的階段性研究成果，立項號：LA201920）

參考文獻：

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[3]劉須群.信息化背景下的案例教學設計研究[D].上海：華東師范大學學報，2005.

（責任編輯：韓曉潔）