帶折現率多險種離散時間風險模型的破產問題

于 莉,詹曉琳，王青芳

(1.合肥工業大學數學學院,安徽 合肥 230009)

(2.上海第二工業大學理學院,上海 201209)

1 引言

文獻[1]討論了帶有常利率下的離散時間保險風險模型的破產前盈余分布等破產問題.文獻[2]研究獨立同分布利率下的離散時間風險模型中破產概率的問題.文獻[3]在具有Markov利率的條件下,討論得出了離散時間風險模型的破產概率滿足的微積分方程及廣義的Lundberg不等式.文獻[4]研究理賠總量具有相關條件下的離散時間風險模型,通過對經典模型的修正得到了破產發生時刻和最終破產概率的定義,并通過鞅方法得到了最終破產概率的Lundberg上界.文獻[5]考慮理賠服從二維一階自回歸結構常利率的雙險種二維離散風險模型,通過概率中的鞅方法得到最終破產概率的倫德伯格型不等式進而獲得其上界,并結合數值分析說明了參數對于破產概率上界的影響.文獻[6]探討具有馬爾科夫性利率的離散時間風險模型中破產赤字和破產前盈余的聯合分布以及最終破產概率的破產問題.文獻[7]研究利率服從m階自回歸時離散時間風險模型的破產前最大盈余分布等破產問題.文獻[8]通過遞推方法和全概率公式,研究帶有折現率離散時間風險模型中的破產概率、破產后赤字、破產前盈余及其它們聯合分布所滿足的微積分方程.文獻[9]在離散時間保險金融風險模型中假設凈虧損量和風險資產的隨機貼現因子都服從同一分布下得到改進的有限時間破產概率漸近公式.文獻[10]研究理賠量滿足一階自回歸模型,利用數學歸納法得出廣義離散時間風險模型中破產前盈余的分布等破產問題.文獻[11]研究索賠過程服從復合二項過程的雙險種離散時間風險模型,得到了罰金期望函數、破產概率滿足的積分方程以及有限時間內破產概率、破產時刻分布的遞推公式.文獻[12]對比在相依理賠量經典離散時間風險模型和帶有雙險種和折現率的相依理賠量離散時間風險模型下的破產持續時間和盈余首次穿過給定水平x的時刻分布.文獻[13]考慮帶馬爾科夫利率的雙險種復合雙二項模型離散風險模型破產概率.本文在文獻[4,8,10,12]基礎上將模型推廣為帶有折現率、多險種及理賠量一階自回歸結構的廣義離散時間風險模型,利用概率論和數學遞推法得到了破產概率、破產后赤字、破產前盈余及其它們聯合分布所滿足的微積分方程,最后結合數據分析此類模型更具有實際意義.

假定保險公司經營k個險種Aj(j=1,2,···,k),在所考慮的時間期間內有固定折現率δ,保費在每個時期期初收取而理賠在每個時期的期末支付,則在時刻n(n=0,1,2,···)保險公司累積盈余折現到初始時刻的盈余為

其中cj表示第j個險種的單位時間內保費收入量,{Xi,1,i=1,2,···},{Xi,2,i=1,2,···},...{Xi,k,i=1,2,···}是k個獨立同分布的隨機變量序列,Xi,j表示在(i?1,i]時間內第j個險種的理賠支出,并假定期望值E(Xi,j)<∞,而個險種的理賠量均滿足AR(1)模型表示初始盈余.同時考慮k

其中|aj|<1,且{Wi,j,i=1,2,···}是獨立同分布的隨機變量序列,這里記W0,j=ω0,j.為了后面討論的方便,把滿足上述條件的廣義離散時間破產模型記為模型(I).

2 主要結果和證明

2.1 破產前盈余和破產后赤字聯合分布

保險公司的經營情況（包括財務情況和賠付能力情況）是保險人和投保人都極為重視的事情,為此我們對破產前的盈余分布進行討論是很重要一部分內容范疇,在考察破產前盈余分布時,首先來考慮破產前盈余和破產后赤字的聯合分布,由聯合分布再來推出其相應的邊際分布.

推論2.2由破產后赤字分布定義,可知其滿足下式

在定理2中令h=0,有因為當h=0時,按定義,即表示保險公司在T時刻破產了,也就是說此時表示破產后的赤字分布,滿足破產后赤字分布的定義.

推論2.3在定理2中令h=0,m=0就得到了破產概率滿足的方程

因為當h=0,m=0時,按定義,即表示保險公司在T時刻破產了,也就是說此時滿足破產概率的定義.

2.2 破產前最大盈余的分布

下面還要介紹一個對保險公司經營比較重要的指標,即破產前最大盈余的分布.破產前最大盈余分布能告訴我們什么時候進行合理最有效的投資,這是保險人和投保人都十分關切的問題,對于保險公司賠付能力和收入提高是很有必要的問題.

定理 3在模型(I)修正的模型下,其破產前最大盈余分布滿足下面的積分方程

證由破產前最大盈余分布的定義可得

這里

當n≥3,由數學歸納法可得

3 數值分析

從例子中可以看出,險種越多保費收入也會增多,當理賠支出分別服從指數分布和均勻分布時,由破產概率的上界表達式發現其隨著險種的增多是變小的,保險公司擴充營業險種是合理的.圖1給出了當理賠量服從參數為1的指數分布時,破產概率的上界受折現率的影響情況,圖2當理賠量服從[0,50]均勻分布時,破產概率上界受折現率的影響,可以看出當理賠量服從不同分布時破產概率的上界影響是不同的,趨勢正好相反,所以應結合實際數據判斷理賠量的分布,更加具有實際意義.圖3破產概率受理賠量指數分布參數λ的影響,圖4破產概率受理賠量均勻分布參數a的影響,發現均隨著參數的變大,破產概率變小,進而取合適的參數可以控制破產概率較小的上界,并且當理賠量服從指數分布時破產概率上界受參數影響的更加明顯.

4 結論

本文在多險種理賠量具有一階自回歸結構的離散時間風險模型下,引入折現率因素,得出破產前盈余分布和破產后赤字的聯合分布所滿足的遞推關系式,進而得到破產前盈余分布、破產后赤字和破產概率所滿足的表達式,然后給出破產前最大盈余分布所滿足的積分公式,最后結合模型考慮當險種A和險種B的理賠量分布均服從指數分布和均勻分布時,得到保險公司的破產前盈余、破產赤字和破產概率的具體表達式,并通過數據模擬說明了多險種和折現率對破產概率影響,并說明模型引入這兩個因素的實際意義.后期可以討論當理賠量推廣到滿足二階甚至是n階自回歸結構,保費收入是隨機變量的廣義風險模型,針對保險公司的數據做出分析,給出實際分析.