基于超前倒向隨機微分方程的動態風險度量

陳 威,李志民,張雪峰

(安徽工程大學數理學院,安徽 蕪湖 241000)

1 引言

金融系統中傳統的風險度量方法注重在一定概率空間上由隨機變量描述不確定收益,在這種情況下,付款通常被認為是貼現的,時間對于風險度量來說并不重要.然而,貨幣的時間價值可以通過一個簡單的折現過程來解決的假設在很多情況下過于局限.基于傳統風險度量所存在的問題,Artzner等[1]在公理化的假設下,討論了一致性風險度量的方法.F?llmer和Schied[2]對一致性風險度量的概念進行延伸,引入了凸風險度量的概念.

Frittelli和Rosazza Gianin[3]在此基礎上討論了一組定義凸風險度量的公理,其中將貨幣風險度量與傳統的效用函數區別開的一個主要公理是現金不變性.出于監管目的,現金不變性給出了風險度量最小資本要求的解釋,但它也假定未來的償付和目前的資本儲備是用相同的數字表示的,因此現金不變性不允許人們處理貼現不確定性的問題.為了彌補這一缺點,El Karoui和Ravanelli[4]用現金次可加性取代了現金不變性.在此基礎上,Cheridito等[5]考慮在整個時間間隔內度量價值未來演化的風險來解決貼現不確定性,并提出了過程的一致性和凸風險度量.隨機過程的框架允許人們放松現金不變性的公理且不丟失風險度量作為最低資本要求的解釋.同時,Riedel[6]、Bayraktar[7]、Cheng和Riedel[8]對貨幣時間價值的不確定性做出了解釋.Acciaio等[9]引入的過程的風險度量為處理模型的模糊性提供了一個自然地框架,并在離散時間框架下引入了過程凸風險度量的魯棒表示.Jiang[10]在對生成元的適當假設下,建立基于g-期望的相關過程的風險度量.

為解決模型的模糊性以及貨幣時間的不確定性,Penner和Réveillac[11]提供了一種連續時間的風險度量方法,并建立了過程的風險度量和倒向隨機微分方程之間的聯系.Peng和Yang[12]在倒向隨機微分方程(簡稱:BSDEs)和隨機時滯微分方程(簡稱:SDDEs)的基礎上引入了一類新的隨機微分方程—超前倒向隨機微分方程(簡稱:超前BSDEs),考慮其生成元包含當前和未來時刻的解,證明方程解的存在唯一性,并對解的比較定理進行研究.Xu和Chen[13]對超前BSDEs生成元滿足隨機Lipschitz條件的情況進行研究,得到了超前BSDEs解的存在唯一性和比較定理.在對有限或無限時間間隔內的BSDEs生成元的適當假設下,Ji等[14]建立了基于BSDEs的過程的動態風險度量模型,證明了BSDEs生成元與過程的動態風險度量的對應關系.

文獻[14]中BSDEs的生成元只包含當前t時刻的解,即通過BSDEs定義的風險度量只能度量當前時刻的風險,并不能對未來時刻的風險做預測,這限制了理論的進一步的應用.為此本文考慮生成元中包含將來時刻的解,在此模型下通過對超前BSDEs生成元進行適當假設,建立基于超前BSDEs的過程的動態風險度量的模型,研究超前BSDEs生成元與過程的動態凸(一致性)風險度量的一一對應關系.全文結構如下:第2節回顧過程的動態風險度量的有關符號和概念以及時間相容性的概念;第3節考慮一種類型的超前BSDEs并對超前BSDEs生成元做適當假設,建立了基于超前BSDEs的過程的動態風險度量的模型;第4節證明了超前BSDEs生成元與基于超前BSDEs的時間相容的過程的動態凸(一致性)風險度量的對應關系;第5節是對具體例子進行分析并對文章做一個整體性的總結.

2 動態風險度量的定義及符號

設T∈[0,∞],(?,F,P)是T上的完備概率空間,(Wt)(t≥0)是定義在該空間上的d維標準維納過程,(Ft)(t≥0)是由(Wt)(t≥0)生成的σ域流.對任意的z∈Rn,記kzk為歐式范數,記W(Rn)是所有Rn值,Ft循序可測過程構成的空間.

定義過程的空間如下

考慮動態框架下的風險度量,x∈R∞表示為一個模擬某種金融資產演化的價值過程,過程m1[t,T]表示時間t≤T時一次支付m單位的現金.對?0≤t≤s≤T,x∈R∞,r∈[0,T],定義映射π(t,s):R∞→R∞如下

為進一步明確風險度量,我們引入文獻[11]中有關過程的動態一致性風險度量的符號.

定義2.1對所有的當t∈[0,T]時的映射滿足下列性質時,映射ρt被稱為過程的條件一致性風險度量:

(1)(條件現金不變性)對?m∈L∞(?,Ft,P),有ρt(X+m1[t,T])=ρt(X)?m.

(2)(條件正齊次性)對?t∈[0,T],有ρt(X1+X2)≤ρt(X1)+ρt(X2).

(3)(單調性)如果X1≤X2,則ρt(X1)≥ρt(X2).

(4)(正則性)ρt(0)=0.

對任意的t∈[0,T],如果映射是過程的條件一致性風險度量,那么序列(ρt)t∈[0,T]稱為過程的動態一致性風險度量.

考慮到一致性風險度量存在的局限性,為了更廣泛的研究金融市場的風險度量問題,我們接下來引入過程的動態凸風險度量的概念.

定義2.2對所有的當t∈[0,T]時的映射滿足下列性質時,映射ρt被稱為過程的條件凸風險度量:

(1)(條件現金不變性)對?m∈L∞(?,Ft,P),有ρt(X+m1[t,T])=ρt(X)?m.

(2)(條件凸性)對所有的λ∈L∞(?,Ft,P),有ρt(λX1+(1? λ)X2)≤λρt(X1)+(1?λ)ρt(X1).

(3)(單調性)如果X1≤X2,則ρt(X1)≥ρt(X2).

(4)(正則性)ρt(0)=0.

對任意的t∈[0,T],如果映射是過程的條件凸風險度量,那么序列(ρt)t∈[0,T]稱為過程的動態凸風險度量.

容易驗證一個過程的條件一致性風險度量同樣也是一個過程的條件凸風險度量.對X∈R∞,記ρt(X)=ρt(π(t,T)(X)),然后引入時間相容的概念.

定義2.3對任意的s∈[t,T],t∈[0,T],X∈R∞,若過程的動態風險度量(ρt)t∈[0,T]滿足:ρt(X)=ρt(X1[t,s)? ρs(X)1[s,T]),則稱過程的動態風險度量(ρt)t∈[0,T]是時間相容的.

3 超前BSDEs的基本假設和主要結論

考慮下面一種類型的超前BSDE:

其中α(·):[0,T]→R+與β(·):[0,T]→R+是滿足下面條件的連續函數:

(a)存在某一常數K≥0,使得對任何t∈[0,T],

(b)存在某一常數C≥0,使得對任何t∈[0,T]及非負可積函數f(·),

(1)g在(y,z,ξ,η)上是隨機Lipschitz連續的,即存在四個正的Ft循序可測隨機過程:?1(t),?2(t),φ1(t),φ2(t),對任意的t∈[0,T],y1,2∈Rm,z1,2∈Rm×d,ξ1,2∈有

為了強調對于給定過程X∈R∞的依賴關系,我們有時候也可以用超前BSDE(X)來表示超前BSDE(3.2),用Yt(X)表示超前BSDE(X)在時刻t的解Y(t,T)(X).由超前BSDE(X)解的唯一性,我們得到Yt(X)=Yt(π(t,T)(X)),這是符合約定的ρt(X)=ρt(π(t,T)(X)).對于s∈[t,T],也用Y(t,s)(X)表示[0,s]上的超前BSDE(X)在時刻t的解.相應地,Y(t,s)(X)=Y(t,s)(π(t,T)(X)).

現在研究基于超前BSDEs的時間一致的過程的動態風險度量與超前BSDEs生成元之間的關系,得到下面定理.

定理3.1設生成元g滿足假設條件(1)～(5),超前BSDE(3.2)的解(Yt(X),Zt(X))t∈[0,T]通過ρt(X)=Yt(X),t∈[0,T],X∈R∞定義了時間相容的過程的動態凸風險度量.

定理3.2設生成元g滿足上述假設條件(1),(2),(4),(6),(7),超前BSDE(3.2)的解(Yt(X),Zt(X))t∈[0,T]通過ρt(X)=Yt(X),t∈[0,T],X∈R∞定義了時間相容的過程的動態一致性風險度量.

4 主要結論的證明

本節將給出上面兩個定理的證明過程.為證上述定理,我們首先給出下面一個引理.

引理4.1設生成元g滿足上述假設條件(1),(2)并且X∈S2,那么存在唯一一對適應過程(Yt(X),Zt(X))t∈[0,T]是超前BSDE(3.2)的解.

證對任意X∈S2,定義一個新的函數

明顯地,lX(t,y,z,ξ,η)t∈[0,T]是循序可測的,并且容易驗證lX滿足假設(1).根據文獻[13],

要想證明超前BSDE(3.2)有唯一解,只要證明lX滿足假設(2).事實上,對任意X∈S2,由假設(1)可以得到

因此,

因此,lX滿足假設(2),引理得證.

定理3.1的證明為證明凸性,設X0,X00∈R∞,(Y0,Z0),(Y00,Z00)滿足下面超前BSDEs:

根據超前BSDE(3.2)解的存在性與唯一性,對任意的t∈[0,T],X∈R∞,r∈L∞(?,Ft,P),r≥0,有rYt(X)=Yt(rX).條件正齊次性得證.

5 例子及討論

由上面兩個例子可以知道,時間相容的過程的動態一致性風險度量也是一個時間相容的過程的動態凸風險度量,反之不成立.因此,在對金融市場做風險評估時,更多的選擇凸風險度量.由于超前BSDEs生成元中不僅包含當前時刻的解的情況,也包含未來時刻的解的情況,因此其可以把將來不確定的目標變為當前確定的結果來做出當前的決定.通過超前BSDEs定義的時間相容的過程的風險度量不僅可以對金融市場的當前的風險做更加準確評估,同時可以預測未來時刻存在的風險,這在金融市場中有著十分廣闊的應用前景.