一類改進定義下的分數(shù)階脈沖偏微分方程的振動性

徐偉杰,劉安平,肖 莉

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院,湖北 武漢 430074)

1 引言

由于分數(shù)階微積分非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過程,所以許多重要的數(shù)學(xué)模型均是由含有分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程描述的,這些性質(zhì)在經(jīng)典模型中常常是被忽略的.如今,分數(shù)階微分方程越來越多地被用來描述光學(xué)、熱學(xué)系統(tǒng)、流變學(xué)、流體力學(xué)系統(tǒng)、信號處理、系統(tǒng)辨識、控制和機器人及其他應(yīng)用領(lǐng)域中的問題[1?5].

常微分方程、偏微分方程和脈沖偏微分方程的振動性質(zhì)在過去已有許多研究成果[6?12].在分數(shù)階微分方程的研究中,振動性同樣具有十分重要的意義.近年來,已經(jīng)有許多學(xué)者對分數(shù)階常微分方程和分數(shù)階偏微分方程的振動性質(zhì)進行了研究[13?20].然而,目前為止,對具有若干時滯的帶脈沖的分數(shù)階偏微分方程振動性質(zhì)的研究依然很少.2017年Raheem A和Maqbul M利用微分不等式等方法研究了一類帶脈沖和強迫項的分數(shù)階偏微分方程在Robin和Dirichlet邊界條件下解的振動性[21].Qu Zhuo[22]研究了具有多個時滯的帶強迫項和脈沖項的分數(shù)階偏微分方程解的振動性.

本文中,我們在改進的Riemann-Liouville分數(shù)階定義下,研究一類分數(shù)階脈沖時滯偏微分方程在兩類不同的邊界條件下解的強迫振動性質(zhì).

2 主要定理及其證明

當(dāng)ξ→∞,可得

定理2.4在定理2.2的條件下，若存在μ2≥0,μ1≥0使得(2.21)–(2.23)成立，那么問題(1.1)、(1.3)的每個解在G內(nèi)是振動的.

3 例子