求解平面向量系數問題的策略

◇ 廣東 李文東

1 利用平面向量的線性運算

例1如圖1所示，在同一個平面內，向量，的模分別為，且與的夾角為α，c o sα＝與的夾角為45°，若則m＋n＝_________．

圖1

解析

如圖2所示，過點C作CD∥OA交OB的延長線于D，于是1，則．在△OCD中，由正弦定理得

圖2

點評

2 建立坐標系，引入坐標進行代數運算

例2（2017年全國卷Ⅲ理12）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若，則λ＋μ的最大值為（ ）．

解析

如圖3所示，設BD與☉C切于點E，連接CE．以A為原點，AD為x軸正半軸，AB為y軸正半軸建立直角坐標系，則點C坐標為（2，1）．

圖3

因為|CD|＝1，|BC|＝2．所以．因為BD切☉C于點E，所以CE⊥BD．所以CE是Rt△BCD中斜邊BD上的高．

即☉C的半徑為．因為P在☉C上，所以點P的軌跡方程為

設點P坐標（x0，y0），則點P滿足

點評

坐標法是解決向量問題的一個基本方法，解題時一定要根據題意合理構建坐標系．

3 利用平方將向量關系化為數量關系

例3給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°．如圖4所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上 變 動．若，其中x，y∈R，則x＋y的最大值為_________．

解析

圖4

點評

因為和為兩個已知的向量，而向量的模已知，因此兩邊平方后可以實現將向量轉化為實數，從而得到x，y的數量關系，然后利用不等式的知識解決．

4 借助三點共線的結論

例4設G為△ABC的重心，P為△GBC內一點，若，求λ＋μ的取值范圍．

解析

如圖5所示，延長AP交BC于點Q，設由 于于 是三 點共線，于是t λ＋tμ＝1，則λ＋，結合圖形易知，從而

圖5

點評

平面中A，B，P三點共線的充要條件是對于該平面內任意的一點O，存在唯一的一對實數x，y，使得且x＋y＝1．這是平面向量中的一個重要結論，利用此結論可以將系數和的問題轉化為兩個向量的模之比．

5 利用平面向量的等和線

例5給定兩個長度為1的平面向量它們的夾角為120°．如圖6所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上 變 動．若，其中x，y∈R，求2x＋3y的范圍．

圖6

解析

圖7

點評

6 利用數量積表示系數

例6正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若，求λ＋μ的值．

解析

設正方形的邊長為2，如圖8所示，顯然

兩式相加得

圖8

點評

為了將向量轉化為數量，得到系數λ，μ，可以進行數量積的運算，建立λ，μ的方程組，然后分別求出λ，μ，這種方法很巧妙，值得推廣．