“五育”并舉引領高考數學應用題

◇ 山東 劉 進

高考數學命題貫徹德智體美勞全面發展的教育方針，倡導“五育”并舉，這一命題原則在2020年高考數學應用題中得到了充分體現．在“五育”并舉的引領下，全國卷數學命題緊貼“數學知識與生產、生活相聯系”的要求，數學應用題可謂妙題生花、精彩紛呈．本文舉例解析以“五育”為背景的高考應用題，旨在探索題型規律，供新一輪高考學生數學復習備考時參考．

1 以“德育”為背景的應用題

例1（2020年全國卷Ⅱ文4理3）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓，為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天新訂單超過1600份的概率為0.05．志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）．

A．10名 B．18名 C．24名 D．32名

解析

點評

本題是以抗擊新冠疫情期間志愿者參加某超市配貨工作為背景的應用問題，考查了考生對基本知識的掌握程度及運用所學知識解決實際問題的能力．

2 以“智育”為背景的應用題

A．60 B．63 C．66 D．69

例2（2020年全國卷Ⅲ文理4）Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域，有學者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數I（t）（t的單位:天）的Logistic模型:I（t）＝

解析

點評

本題以新冠肺炎疫情傳播的動態研究為背景，選擇適合學生知識水平的Logistic模型作為試題命制的切入點，考查學生對指數函數與對數函數基本知識的理解和掌握，以及使用數學模型解決實際問題的能力和數學建模、數學運算等核心素養．

例3（2020年新高考全國卷Ⅰ6）基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數．基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型I（t）＝er t描述累計感染病例數I（t）隨時間t（單位:天）的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋r T．有學者基于已有數據估計出R0＝3.28，T＝6．據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為（ ）（ln2≈0.69）．

A．1.2天 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

解析

由R0＝1＋r T，得3.28＝1＋6r，解得r＝0.38，所以e0.38t＝2，所以0.38t＝ln2，解得．故選B．

點評

本題基于新冠肺炎疫情初始階段的研究成果，考查了相關的數學知識和從資料中提取信息的能力，突出了數學知識和數學模型的應用．

3 以“體育”為背景的應用題

例4（2020年新高考全國卷Ⅰ5）某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的（ ）．

A．62% B．56%

C．46% D．42%

解析

由題意得，82%＋60%－96%＝46%．故選C．

點評

身心健康是素質教育的重要內容，高考數學設計了以體育運動為問題情境的試題，體現了積極的導向作用，本題以關注學生的體育運動與體育鍛煉為背景，設計了簡單的概率計算問題，考查了考生閱讀理解和分析、轉化能力．

例5（2020年全國卷Ⅰ理19）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下．

累計負兩場者被淘汰:比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束．經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設每場比賽雙方獲勝的概率都為

（1）求甲連勝四場的概率；

（2）求需要進行第五場比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率．

解析

（1）甲連勝四場只能是前四場全勝，所以所

（2）根據賽制，至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比賽．

（3）丙最終獲勝，有兩種情況．

因此，丙最終獲勝的概率為

點評

本題以羽毛球比賽為背景，將概率問題融入常見的比賽中，以參賽人的獲勝概率設問，重在考查學生的邏輯推理能力、對事件進行分析、分解和轉化的能力以及對概率的基礎知識（特別是古典概率模型、事件的關系和運算、事件獨立性等內容）的掌握情況．

4 以“美育”為背景的應用題

例6（2020年全國卷Ⅱ文3）如圖1，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12，設1≤i＜j＜k≤12．若k－j＝3且j－i＝4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數之和為（ ）．

圖1

A．5 B．8 C．10 D．15

解析

原位大三和弦:i＝1，j＝5，k＝8；i＝2，j＝6，k＝9；i＝3，j＝7，k＝10；i＝4，j＝8，k＝11；i＝5，j＝9，k＝12共5個；原位小三和弦:i＝1，j＝4，k＝8；i＝2，j＝5，k＝9；i＝3，j＝6，k＝10；i＝4，j＝7，k＝11；i＝5，j＝8，k＝12共5個．總共10個，故選C．

點評

借助數學語言給出原位大三和弦與原位小三和弦的定義，并設計了一個簡單的計數問題，考查學生對新定義、新情境的學習能力，以及分析問題的能力和數學文化素養．

例7（2020年全國卷Ⅰ文理3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐（如圖2）．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ）．

圖2

解析

如圖3，設正四棱錐的高為h，底面邊長為a，側面三角形底邊上的高為h′，依題意有

圖3

點評

本題以世界建筑奇跡埃及胡夫金字塔為背景，設計正四棱錐的計算問題，將立體幾何的基本知識與建筑文化有機結合，體現數學美和數學應用的廣泛性．

5 以“勞動教育”為背景的應用題

例8（2020年新高考全國卷Ⅰ15）某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖4所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1，則圖中陰影部分的面積為________cm2．

圖4

解析

由已知得A到DG的距離與A到FG的距離相等，均為5，所以∠AOH＝45°．設O到DG的距離為3t，則O到DE的距離為5t，所以OAcos45°＋5t＝7，OAsin45°＋3t＝5，因此2t＝2，所以，所以圖中陰影部分的面積為

點評

本題通過創設一個勞動情境考查幾何知識，同時培養學生的數學應用意識，提高學生對勞動實踐的興趣．高考數學將社會生產勞動實踐情境與數學基本概念有機結合，很好地發揮了高考試題在培養勞動觀念中的引導作用．