數學模型在解三角問題中的應用

◇ 山東 杜海龍

構造是一種重要的數學思維方法，它是創造力的較高表現形式，是高考考查的熱點．在解題中應注意依據題目特征類比相關知識，通過構造數學模型來促進問題的解決，從而培養思維的創造性．構造時，需要跳出題外，高屋建瓴，方可遂愿．本文舉例說明構造數學模型在求解三角函數問題中的應用．

1 構造對偶模型

例1求值

解析

①＋②，得

①－②，得

點評

由于所求代數式是二次齊次式且只含余弦函數，而余弦函數和正弦函數一般是成對出現的，因此可考慮構造相應的正弦函數來求解．

例2求的值．

解析

設所求的式子為

點評

在對偶式的構造上，要注意，有時是互余對偶，有時是和差對偶，有時是互倒對偶……對偶的靈活性與求解的巧妙性構成了一道和諧、美麗的風景．

2 構造函數模型

例3已知α，β為銳角，且，則

下列結論中正確的是（ ）．

解析

點評

本題通過構造函數，利用函數的單調性將“角”的關系進行轉化．

例4已知，且

求cos（x＋2y）的值．

解析

構造函數f（t）＝t3＋sint，易知它是上的單調遞增函數．

點評

本題通過構造函數，利用函數的單調性進行求解，很是巧妙．

3 構造向量模型

例5若α，β∈（0，π），求滿足等式cosα＋的α和β的值．

解析

原等式可化為（1－cosβ）cosα＋sinβsinα＝

構造向量a＝（1－cosβ，sinβ），b＝（cosα，sinα），則

因為（a·b）2≤|a|2·|b|2，所以

點評

本題將條件等式在變形的基礎上構造兩個向量，并運用向量的數量積運算和性質求解，體現了向量知識應用的廣泛性．

4 構造數列模型

例6證明，其中0，1，2，…，n，λ∈Z．

證明當n＝1時，即證由三角函數的知識可以證明此式成立．由此我們可以構造一個數列遞推式

再利用累加法獲證．

點評

尋求項與項之間的一般關系，構造數列遞推式證明，體現了數學中的以退求進、特殊到一般的思想方法．

5 構造復數模型

例7已知x，y，z∈R，且

求證:

證明設復數α＝cosx＋isinx，β＝cosy＋isiny，γ＝cosz＋isinz，且ˉα，ˉβ，ˉγ分別是α，β，γ的共軛復數，則αˉα＝1，βˉβ＝1，γˉγ＝1．

由等比定理，得

由已知，p顯然為實數，所以sin（x＋y）＋sin（y＋z）＋sin（z＋x）＝0．故

點評

由于復數有三角式，對于具有對偶形式的三角問題，通過構造復數的三角式來求解較為方便有效．

6 構造解析幾何模型

例8已知求證:

解析

本題初看起來關系式很整齊，但卻很難找到條件與結論直接的邏輯關系，但仔細觀察可以發現它與橢圓的標準方程很相似，因此可以構造橢圓模型

又在P2處的橢圓的切線方程為x＋y＝1，而點P1也在切線x＋y＝1上，由切點的唯一性知，點P1與P2重合．故cos2α＝cos2β，sin2α＝sin2β，即

點評

構造解析幾何模型是實現數形轉換的一種方法，它的應用范圍較為廣泛．本題利用點的坐標、曲線的方程的有關性質巧妙地尋找條件與結論間的邏輯關系進行證明．

7 構造三角模型

例9求函數的最大值和最小值．

解析求解本題最大的困惑就是去掉根號，仔細觀察 sinx和可知sin2x＋，由此可以構造三角模型求解．

點評

本題通過構造三角模型，利用三角函數的性

質巧妙地擺脫了根號的困惑，使問題獲解．