解三角形中的幾類典型誤區舉隅

◇ 廣東 陳 泳 閆 偉 羅輝芳

解三角形問題是歷年高考的必考題，總體而言難度不大，但關于三角函數的定理、公式很多，利用正余弦定理和三角函數關系式解題時容易出現多解，學生往往缺乏相應的區分能力，所以“會而不對，對而不全”的現象常有發生．本文歸納了解三角形問題中幾種常見的錯誤，以期幫助讀者進一步提升對解三角形問題的認識，提高解題效率和準確性．

1 忽視余弦值為0

求解三角形問題時，大部分學生雖然掌握了相應解題方法，但沒有嚴謹的解答過程，常常丟三落四而導致失分．例如，在等式兩邊消去相同因式——某個角的余弦，忘記討論余弦值為0的情況，導致漏解．

例1在△ABC中，若sinC＋sin（B－A）＝2 sin2A，求角A．

錯解sinC＋sin（B－A）＝sin（A＋B）＋sin（B－A）＝sinAcosB＋cosAsinB＋cosAsinB－sinAcosB＝2 cosAsinB＝2 sin2A，即cosAsinB＝sin2A＝2 sinAcosA，所以sinB＝2 sinA．

錯誤分析本題解答過程不嚴謹，等式cosA·sinB＝2 sinAcosA兩邊同時除以cosA時沒有討論cosA是否為0，當cosA＝0時，sinB＝2 sinA不一定成立．

正解解得cosAsinB＝sin2A＝2 sinAcosA，所以（sinB－2 sinA）cosA＝0．當cosA＝0時，

當sinB＝2 sinA時，由正弦定理，得

由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得

點評

學生考試估分和實際得分相去甚遠，很多時候都是沒有養成規范的答題習慣所引起的．在求解三角形問題時，等式兩邊都有相同未知數要特別注意，如果等式兩邊都有相同角的余弦則不能隨便約去，例題中的錯誤就是由隨便消元造成的．針對這種情況，我們可以先移項然后提公因式，避免漏解．總之，學好數學需要細心，不能急功近利，要重視解題的規范性訓練，努力做到“會又對、對又全、全又美”．

2 忽視三角形內角的范圍

1）角的范圍縮小

例2（人教A版《必修5》課后題）在△ABC中，已知sin2A＝sin2B，試判斷△ABC的形狀．

錯解因為sin2A＝sin2B，所以2A＝2B，A＝B，△ABC為等腰三角形．

錯誤分析sin2A＝sin2B與2A＝2B不是等價的，沒有考慮三角形中角的范圍，從而導致錯誤．

正解因為A，B∈（0，π），所以2A，2B∈（0，2 π）．因為sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或，故△ABC為等腰或直角三角形．

2）角的范圍擴大

例3在△ABC中，求cosC．

錯誤分析忽略了角A的取值范圍，在△ABC中，sinB＞sinA是B＞A的充要條件，而角B為銳角，則A必為銳角．

正解，所以sinB＞sinA，所以B＞A，則A為銳角，故

例4（2019年全國卷Ⅲ）△ABC的內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c．已知

（1）求B；

（2）若△ABC為銳角三角形且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．

因為△ABC為銳角三角形，所以，所以tanC∈（0，＋∞），則，所以

錯誤分析學生雖然能夠注意到△ABC是銳角三角形這一條件，但沒有注意到已知一個角的度數，則另外兩個角之和就為定值．若僅注意到另外兩個角各為銳角這一條件，就會把角的范圍擴大導致出錯．

正解（2）同上可知所以，所以，則a∈，所以

例5在銳角△ABC中，a＝1，B＝2A，求b的取值范圍．

錯解1由正弦定理，可得

錯解2因為，所以，所以，則，所以

錯解3因為，所以則，所以

錯誤分析學生在利用正弦定理化簡得到2 cosA后，主要存在著以下幾種易錯點．錯解1:沒有考慮到角B的范圍限制，從而將角A的范圍擴大了；錯解2:利用了B＝2A且B是銳角這一條件求出了角A的范圍，但沒有考慮到三角形內角和為180°，角C的范圍也制約著角A的范圍；錯解3:考慮到角C的范圍會影響角A的范圍，但沒有考慮到角B的范圍，導致角A的范圍擴大了．以上3種是常見的易錯點．除此以外還有一些基本功不過關的常見錯誤，如求出了角A的范圍，但是cosA的大小范圍寫錯了，誤認為A＝2B和sinA＝2 sinB是等價的．

點評

求三角形內角的范圍是解三角形中的一個難點，對學生思維的嚴謹性、完備性要求較高．角的取值范圍一般隱含在題目的條件中，若不仔細審題、深入挖掘，往往會因為疏漏而導致解題錯誤，解題時可以從以下幾個方面入手．

1）認真審題捕捉銳角、鈍角等“題眼”，注意挖掘隱含在題中的相關信息，例如某個角的余弦值為負數，說明這個角為鈍角；三角形的三個內角中最多只有一個鈍角；大邊對大角求得小邊所對的角一定為銳角等．

2）在任意三角形中，三個內角之和等于180°，所以才會有三個內角均介于0°～180°之間這樣的隱含信息，解題時要注意深挖題目的隱含信息，明確幾個內角間的大小關系．

3）在研究鈍角三角形的內角大小時要分類討論，做到不重不漏、有理有據．

4）如果已知三角形的某一個內角，那么余下的兩個角之和必為定值，這就形成了一種制約關系，利用這個關系可以總結一些相關結論:1）銳角△ABC中最大內角的范圍是[60°，90°），最小內角的范圍是（0°，60°]；2）銳角△ABC中，若A＝30°，則B，C∈（60°，90°）；若A＝60°，則B，C∈（30°，90°）；3）銳角△ABC中的任意兩角之和必大于90°等．

3 忽視三角形邊的范圍

例6在△ABC中，已知2，則B＝________．

錯解由正弦定理，得，所以B＝30°或150°．

錯誤分析忽視了邊a和邊b的大小關系，從而忽視了角B也有大小范圍的限制．

正解由正弦定理，得，因為a＞b，所以A＞B，則B＝30°．

點評

若已知兩邊及其對角時，運用正弦定理解得另外一角的正弦值會有兩種答案，要根據大邊對大角的情況，對角的解進行分析．

例7已知2a＋1，a，2a－1為鈍角三角形的三條邊，求a的范圍．

錯解1設最大邊2a＋1所對的角為θ，則θ為鈍角，所以

當2a（2a－1）＞0，即a＜0或時，a2＋（2a－1）2－（2a＋1）2＜0，解得0＜a＜8，故

當2a（2a－1）＜0，即時，a2＋（2a－1）2－（2a＋1）2＞0，解得a＜0或a＞8，無解．

錯解2由題意得所以．設2a＋1為最大邊，其所對的角為θ，則θ為鈍角，所以，解得0＜a＜8，所以

錯誤分析錯解1忽視了三角形的三邊長均大于0，而且錯解1和錯解2都只考慮了最大邊所對的角為鈍角，忽視了“三角形中兩邊之和大于第三邊”的隱含條件．

正解由錯解2，得又因為三角形三邊滿足a＋（2a－1）＞2a＋1，所以a＞2，于是2＜a＜8．

點評

三角形的三邊需滿足每條邊都為正數，且任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．

例8（2013年北京卷）△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A．

（1）求cosA的值；

（2）求c的值．

錯解（求解過程略）．

錯誤分析忽視了c的取值范圍，所以，故A，B為銳角，所以sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosA·sinB＞cosAsinB，所以c＞bcosA＝4．

正解解得c＝3或5，又cosB＝cos2A＝，故B為銳角，當c＝3時，b2＞a2＋c2，B為鈍角，舍去，所以c＝5．

點評

在使用余弦定理求出某條邊有兩個值時要注意值是否滿足條件，例如，已知a，b，cosA，求出c有兩個值，就要利用正弦、余弦定理驗證另外一個角B或C的值是否滿足條件．

在解三角形問題中，經常會出現多解現象，稍不注意計算就會出錯．俗話說，“失敗是成功之母”．解三角形問題涉及的公式多，對學生的思維能力、運算能力要求較高．做錯題是再平常不過的，教師要引導學生關注細節，多總結分析，弄清楚在哪一個知識點、哪一個方法、哪一個環節上出現了問題，把錯題歸類，日積月累，才能在解題時融會貫通、游刃有余．