對一道向量高考題的多解、溯源、探變

◇ 四川 湯麗萍

1 試題呈現(xiàn)

題目（2020年全國卷Ⅰ理科第14題）設(shè)a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，則|a－b|＝_________．

該試題是一道以平面向量為載體，已知兩向量和的模，求兩向量差的模的試題．試題立意平中見奇、思路入口寬、解法靈活多樣，既能很好地考查考生對基礎(chǔ)知識、基本能力、通性通法的掌握情況，體現(xiàn)基礎(chǔ)性的要求，又能考查綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想的能力，如化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)分析、解決問題等，還能有效考查考生運(yùn)算求解、推理論證和靈活選擇解題策略的能力，體現(xiàn)綜合性、創(chuàng)新性、應(yīng)用性的要求，是一道面孔熟悉、質(zhì)樸蘊(yùn)奇的優(yōu)質(zhì)試題．

2 解法探究

分析1利用向量數(shù)量積運(yùn)算和模的性質(zhì)求解．

解法1因?yàn)閍，b為單位向量，則|a|＝|b|＝1，所以，解得2a·b＝－1．則

點(diǎn)評

本解法屬于通性通法，利用性質(zhì)|a|2＝a2進(jìn)行轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵．

分析2利用平行四邊形的性質(zhì):“平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和”，即

解法2由題意知|a|＝|b|＝1，又|a＋b|＝1，所以|a－b|2＝2（|a|2＋|b|2）－|a＋b|2＝4－1＝3，則

點(diǎn)評

本解法簡捷、明快，特別適用于選擇題和填空題，但理解、掌握所用的結(jié)論是關(guān)鍵．

分析3利用向量加法、減法運(yùn)算的幾何意義，從幾何的視角求解．

解法3如圖1，以a，b為鄰邊作平行四邊形，由于|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，所以a，b及a＋b構(gòu)成的三角形為等邊三角形，所以．由余弦定理，得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·

圖1

點(diǎn)評

對多數(shù)向量問題來說，準(zhǔn)確挖掘和運(yùn)用向量幾何意義能起到事半功倍的效果，體現(xiàn)了直觀想象素養(yǎng)的運(yùn)用．

分析4建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．

解法4因?yàn)閍，b為單位向量，不妨設(shè)a＝（1，0），a，b的夾角為θ，則b＝（cosθ，sinθ），所以

由|a＋b|＝1，得（1＋cosθ）2＋sin2θ＝1，解得．所以

點(diǎn)評

利用坐標(biāo)法解決平面向量問題，實(shí)際上就是把抽象的向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算來進(jìn)行，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)素養(yǎng)的運(yùn)用．

3 源頭追溯

源頭1（人教A版《必修4》第108頁A組第8題）已知|a|＝8，|b|＝10，|a＋b|＝16，則a與b的夾角θ＝________．

答案θ＝55°．

源頭2（2012年新課標(biāo)卷）已知向量a，b的夾角為45°，且，則|b|的值為_________．

解析

因?yàn)橄蛄縜，b的夾角為45°，且|a|＝1，所以

源頭3（2014年全國卷Ⅱ）設(shè)向量a，b滿足，則a·b＝（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．5

解析

由已知|a＋b|＝，|a－b|＝，得|a＋

b|2＝10，|a－b|2＝6，所以a2＋b2＋2ab＝10，a2＋b2－2ab＝6．

兩式相減，得a·b＝1，故選A．

通過上面的探究可以看出，在強(qiáng)調(diào)命題改革的今天，通過改編、創(chuàng)新等手段來賦予課本題或往年高考真題新的生命，已經(jīng)成為高考命題的一種新趨勢．因此，在學(xué)習(xí)的過程中務(wù)必要注意對教材習(xí)題和往年高考真題進(jìn)行變式訓(xùn)練，要求注意探索變式、拓廣成果，對解題思路進(jìn)行內(nèi)化、深化、探索、總結(jié)、升華．把握其實(shí)質(zhì)，掌握其規(guī)律，規(guī)范其步驟．

4 同源變式

變式1已知向量b）·a＝2，則|a－b|＝__________．

解析

變式2已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，，則a與b夾角為（ ）．

A．30° B．45° C．60° D．120°

解析

由已知，（2a＋b）2＝3（2a－b）2，即

因?yàn)閨a|＝1，|b|＝2，則a2＝1，b2＝4，所以8＋4ab＝3（8－4a·b），即a·b＝1．

設(shè)向量a與b的夾角為θ，則|a||b|cosθ＝1，即．又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°．故選C．

5 啟示感悟

1）平面向量的數(shù)量積及其性質(zhì)在平面向量中占重要的地位，在高考中也是常考的熱點(diǎn)．平面向量的數(shù)量積主要用于解決有關(guān)向量模（長度）、垂直、向量的夾角等問題．求與向量模有關(guān)問題時，要注意等式a2＝|a|2的應(yīng)用，這個等式是向量問題實(shí)數(shù)化的重要工具．另外，還常用到下列公式:

2）對典型的高考真題要進(jìn)行多角度思考，實(shí)際上這是對這些題目的“二次開發(fā)”，即通過一道題明晰一類題．對典型試題，尤其是涉及核心知識內(nèi)容的典型試題的剖析和思考更是必不可少的，通過對典型試題的靈活變式和多角度思考，展開問題的來龍去脈和知識間的縱橫聯(lián)系，讓學(xué)生站在一定的高度去思考問題，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生的思維得到升華，使知識得以融會貫通．唯有如此，無論考題的構(gòu)思多么新穎，學(xué)生也能以不變應(yīng)萬變．