一題多變，玩轉解三角形最值問題

◇ 山東 高 磊

秉綱而目自張，執本而末自從．高三復習階段，學生要做的習題浩如煙海，為了擺脫題海戰術，就需要學生通過一題多變、一題多解、多題歸一的訓練開展深度學習；通過改變條件、整合知識，找到規律，一通百通．在數學教學中，教師需通過一題多變培養學生的發散思維；通過多題歸一，培養學生收斂思維．筆者依據多年高三教學經驗，認為散斂思維應有中心、有目標、可遷移，做到周密、有效．現結合解三角形內容談談個人觀點．

1 題根研究

題根（2020年全國卷Ⅱ理科第17題）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC＝3，求△ABC周長的最大值．

解法1（1）由正弦定理和已知條件，得

由余弦定理，得

因為0＜A＜π，所以

（2）由正弦定理及（1），得

故

解法2（1）同解法1．

（2）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由余弦定理，得

又因為a＝3，所以所以（b＋c）2≤12，所以，當且僅當b＝c＝時，等號成立．因為a＝3，所以故△ABC周長取得最大值

點評

本題考查了解三角形的相關知識，涉及正弦定理角化邊的應用、余弦定理的應用、三角形周長最大值的求解等．

2 變式訓練

變式1在△ABC中，若，求△ABC面積的最大值．

基于這個考點，進行如下變式訓練，引領學生全面掌握解三角形中的最值問題．

解析

在△ABC中，由基本不等式，可得a＋c≥當且僅當a＝c時，等號成立．

點評

變式2在△ABC中，若，求△ABC周長的取值范圍．

解析

在△ABC中，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝（a＋c）2－3ac＝1－3ac．由基本不等式，得當且僅當a＝c時，等號成立．所以

又因為0＜b＜a＋c，所以，所以a＋b＋c＜2，故△ABC周長的取值范圍為

點評

根據余弦定理和基本不等式可以推導出b≥，再結合三角形兩邊之和大于第三邊得出周長的取值范圍．

變式3在△ABC中，若，求△ABC周長的取值范圍．

解析

在△ABC中，由余弦定理，得

又因為b＝1，a＋c＞b，所以1＜a＋c≤2，所以2＜a＋b＋c≤3，故△ABC周長的取值范圍為（2，3]．

點評

由余弦定理和基本不等式相結合可以推導出a＋c≤2，再結合三角形兩邊之和大于第三邊得出周長的取值范圍．

變式4若△ABC為銳角三角形求△ABC周長的取值范圍．

解析

由正弦定理，得

所以

因為△ABC為銳角三角形，所以解得，所以，所以a＋c＝，故

點評

與變式3相比，會發現在銳角三角形中，利用基本不等式無法使問題獲解．本題運用正弦定理得出，此為正弦型函數，再利用銳角三角形這一條件進一步縮小角A的范圍，求出周長的取值范圍．

變式5在△ABC中，若，求△ABC的面積的最大值．

解析

在△ABC中，由余弦定理，得

由基本不等式，得a2＋c2≥2ac，b2＝a2＋c2－ac≥ac，所以ac≤1，當且僅當a＝c時，等號成立．所以

點評

本題運用余弦定理和基本不等式求解三角形面積最大值．

變式6在△ABC中，若，求△ABC面積的取值范圍．

解析

由正弦定理，得

所以

所以

點評

本題運用正弦定理、和角公式、倍角公式、輔助角公式等求解面積的取值范圍．

變式7若△ABC為銳角三角形求△ABC面積的取值范圍．

解析

因為△ABC為銳角三角形，所以

點評

運用“銳角三角形”這一條件縮小角A的范圍是本題的易錯點．

變式8在△ABC中，，若D為邊AC的中點，且BD＝1，求△ABC面積的最大值．

圖1

解析

因為BD為邊AC的中線，所以，則

由基本不等式，得4＝c2＋a2＋ac≥3ac，所以，當且僅當a＝c時，等號成立．

點評

當中線為定值時，在△ABC中運用建立方程，再運用基本不等式求出ac的最大值，從而求得面積的最大值．

變式9在△ABC中，若BD為∠ABC的角平分線，且BD＝1，求△ABC面積的最小值．

解析

因為BD為∠ABC的角平分線，且BD＝1，

由S△A B C＝S△A B D＋S△B C D，得

點評

當角平分線為定值時，可運用面積關系S△A B C＝S△A B D＋S△B C D建立方程，再運用基本不等式求出ac的最小值，從而求得面積的最小值．

變式10在△ABC中，，若BD為邊AC上的高，且BD＝1，求△ABC面積的最小值．

解析

在△ABC中，因為BD為邊AC的高，且，所以

由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，所以，由基本不等式，知a2＋c2≥2ac，得所以ac≥，當且僅當a＝c時，等號成立．所以

△ABC面積的最小值為

點評

一題多變是對一道題目進行變式研究，采取分層次多視角的剖析，通過題設、結論的變化及引申新問題讓學生對知識的理解更深刻，能夠幫助學生加深對基礎知識和基本技巧的掌握，激發學生解題和鉆研的欲望，提升學生觸類旁通、綱舉目張、舉一反三的能力．一題多變也是創造性思維的體現，對培養學生思維的廣闊性、探索性、深刻性、獨創性、靈活性都是非常有效的途徑．在高三復習中，靈活運用一題多變能夠收到“講好一題，帶活一片”的效果．