繩子突然拉緊問題的解法探究

◇ 山東 姚桂元

在高考備考過程中，我們經常會遇到繩子突然拉緊的問題．由于作用是在瞬間完成的，繩子的形變不明顯，物體的動量變化與能量變化往往不會引起學生的足夠重視，從而導致解題出現錯誤．本文從2019年4月浙江省新高考物理選考13題的解析出發，對教學中經常出現的幾例繩子突然拉緊的問題進行分類研究，根據各類問題的特點，總結出解決問題的基本方法，以期對課堂教學提供幫助．

1 繩子一端固定的情形

例1（2019年4月浙江新高考物理選考，13題）用長為1.4m的輕質柔軟絕緣細繩，拴一質量為1.0×10－2kg、電荷量為2.0×10－8C的小球，細繩的上端固定于O點．現加一水平向右的勻強電場，平衡時細繩與鉛垂線成37°，如圖1．現向左拉小球使細繩水平且拉直，靜止釋放，則（sin37°＝0.6）（ ）．

圖1

A．該勻強電場的場強為3.75×107N·C－1

B．平衡時細繩的拉力為0.17N

C．經過0.5s，小球的速度大小為6.25m·s－1

D．小球第一次通過O點正下方時，速度為7m·s－1

解析

平衡時，對小球進行受力分析如圖2所示，由平衡條件知FTcosθ＝mg，FTsinθ＝q E，解得E＝3.75×106N·C－1，FT＝0.125N，故選項A、B錯誤．現向左拉小球使細繩水平且拉直，靜止釋放瞬間，對小球受力分析如圖2所示，由牛頓第二定律得，解得a＝12.5m·s－2．

圖2

因此，小球沿著與鉛垂線成37°角的方向做初速度為零的勻加速直線運動，直到細繩再次被拉直時勻加速直線運動結束．設小球做勻加速直線運動的時間和末速度分別為t、v．由運動學公式可得2Lsinθ＝，得

經過0.5s，小球的速度大小為v′＝at′＝6.25m·s－1，故選項C正確．

在繩子拉緊瞬間，小球沿繩方向的速度v2瞬間變為零，垂直于繩方向的速度v1不變．

解得vL≈5.8m·s－1，故選項D錯誤．

【解法總結】在繩子拉緊瞬間，繩子的拉力對小球產生較大的沖量作用．繩子一端固定，沿繩方向的速度在繩子沖量的作用下瞬間變為零，而垂直于繩方向的速度不變．因此，小球的動量發生了變化，能量也發生了變化．

例2（題源追溯）如圖3所示，質量為m的小球與一不可伸長的長為L的輕繩連接，繩的另一端固定于O點，現將小球拉到與水平方向成30°角的上方（繩恰伸直），然后將小球自由釋放，求小球到達最低點時受到繩的拉力大小．

圖3

解析

小球自由釋放瞬間，對小球受力分析如圖4所示．小球只受重力，因此小球釋放后先做自由落體運動，當運動到O點斜下方與水平方向成30°角時，繩被拉直，自由落體運動結束．

圖4

例3（真題改編）用長為1.4m的輕質柔軟絕緣細繩，拴一質量為1.0×10－2kg、電荷量為2.0×10－8C的小球，細繩的上端固定于O點．現加一水平向右的勻強電場，電場強度為3.75×106N·C－1，如圖5所示．現向左拉小球使細繩水平且拉直，由靜止釋放，則（ ）．

圖5

A．小球從釋放到運動到最低點的過程中機械能與電勢能之和保持不變

B．小球第一次通過O點正下方時，細繩的拉力為0.45N

C．小球先做初速度為零的勻加速直線運動，再做圓周運動

D．經過0.5s，小球的加速度大小為12.5m·s－2

解析

現向左拉小球使細繩水平且拉直，由靜止釋放的瞬間，對小球受力分析如圖6所示，由幾何關系得，解得θ＝37°．由牛頓第二定律得，解得a＝12.5m·s－2．

圖6

因此，小球沿著與鉛垂線成37°角的方向做初速度為零的勻加速直線運動，直到細繩再次被拉直時勻加速直線運動結束．設小球做勻加速直線運動的時間和末速度分別為t、v．由運動學公式得

故經過0.5s，小球的加速度大小為12.5m·s－2，故選項D正確．

在繩子拉緊瞬間，小球沿繩方向的速度v2瞬間變為零，垂直于繩方向的速度v1不變．由運動分解可得

由于小球的速度由v突然減小為v1，則繩子拉緊時小球的機械能有損失，因此小球從釋放到運動到最低點的過程中機械能與電勢能之和變小，故選項A錯誤．

繩子拉緊之后，小球繼續下擺做圓周運動．故小球先做初速度為零的勻加速直線運動，再做圓周運動，選項C正確．

設小球第一次通過O點正下方時，速度大小為vL，由動能定理得mg L[1－cos（90°－2θ）]＋q EL·

2 繩子兩端自由的情形

例4如圖7所示，可看成質點的質量均為m的兩個小球A、B，由長為L的不可伸長的輕繩連接，小球B被限制在水平面上的光滑直槽內，A、B垂直于槽且相距為L/2，若小球A以速度v在光滑桌面上沿平行于槽的方向運動，求小球B開始運動時的速度大小，及此時小球A的速度大小．

圖7

解析

方法1（隔離法） 如圖8所示，當輕繩剛拉直時，對小球A，由運動分解得

圖8

繩子拉緊瞬間，小球A沿繩方向的速度v2變為v′2，垂直于繩方向的速度v1不變．在繩子拉緊過程中，設繩子對小球的沖量為I，由動量定理得

對小球B:Icos30°＝mvB－0，

對小球A:－I＝mv′2－mv2．

繩子不可伸長，沿繩方向速度相等，有v′2＝vBcos30°，解得．故小球A的速度為

方法2（整體法） 如圖8所示，繩子拉緊瞬間，小球A沿繩方向的速度v2變為v′2，垂直于繩方向的速度v1不變．在繩子拉緊的過程中，對A、B組成的系統，沿槽方向，由動量守恒定律得

繩子不可伸長，沿繩方向速度相等，有v′2＝vB·cos30°，解得．所以小球A的速度為

【解法總結】在繩子拉緊瞬間，繩子的拉力對兩小球產生較大的沖量作用．繩子兩端自由，沿繩方向兩小球的速度發生變化，而垂直于繩方向的速度不變．因此，兩小球的動量發生變化，能量也發生變化．由于繩子不可伸長，故沿繩方向速度相等．若采用整體法，繩子對小球的作用屬于內部作用，不用考慮，因此解決此類問題采用整體法會比較簡潔．

例5質量分別為mA、mB和mC的三個質點A、B、C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸長的柔軟輕繩AB和BC連接，∠ABC為π－α，α為一銳角，如圖9所示，今有一沖量為I的沖擊力沿BC方向作用于質點C，求質點A開始運動時的速度．

圖9

解析

這道題我們采用整體法來解答．建立如圖10所示的直角坐標系，設質點A、B、C的速度分別為vA、vB、vC，其中vB與x軸的夾角為θ，以質點A、B、C組成的系統為研究對象．

圖10

在x方向，由動量定理得

在y方向，由動量守恒定律得

繩子不可伸長，沿繩方向速度相等，有

繩子突然拉緊時的問題在全國中學生物理競賽試題中也經常出現，我們不妨再來研究一道競賽真題，體會一下解決此類問題的基本方法．

例6（2007年第24屆全國中學生物理競賽決賽試題）A、B、C三個剛性小球靜止在光滑水平面上，它們的質量皆為m，用不可伸長的長度皆為l的柔軟輕繩相連，AB的延長線與BC的夾角為，如圖11所示．在此平面內取正交坐標系x Oy，原點O與B球所在處重合，x軸正方向和y軸正方向如圖．另一質量也是m的剛性小球D位于y軸上，沿y軸負方向以速度v0（如圖）與B球發生彈性正碰，碰撞時間極短，設剛碰完后，連接A、B、C的連線都立即斷了（不計繩斷消耗的機械能）．求碰后經過多長時間，D球距A、B、C三球系統的質心最近．

圖11

解析碰撞之后各小球的速度如圖12所示，對A、B、C、D組成的系統，由動量守恒定律得

圖12

x方向:

由機械能守恒定律得

沿繩方向速度相等，有

設碰前A、B、C三球質心位置為（xC，yC），碰后質心速度為（vCx，vCy）．由質心運動方程得

設碰后經過t時間，D球距A、B、C三球系統的質心最近，由幾何知識得vt＝yC＋vCyt，解得