利用斜拋運動幾何結論巧解極值問題

◇ 廣東 李開瑋

本文通過拋物線性質得到了一個關于斜拋運動的結論，并利用這個結論巧妙求解斜拋運動極值問題，體現了幾何知識在物理中的妙用．

1 斜拋運動的幾何結論

如圖1所示，在距水平面高度為h的某處將一質點以速度v0斜拋出去，拋射角為θ，以拋出點為原點，建立水平豎直坐標系，質點的軌跡為拋物線，其參數方程為

圖1

由式①②可得拋物線軌跡方程為

將式③轉化為拋物線方程標準形式有

式④對應的標準形式為X2＝－2p Y．由式④可得拋物線頂點縱坐標為，常數p＝頂點到準線距離為，觀察發現拋出點到準線距離為

2 斜拋運動極值問題

對于斜拋運動，有多種方法可求解:水平豎直運動分解、斜交分解法，以及前文的斜拋運動結論．接下來探討兩道典型的斜拋運動極值問題，利用前述多種方法分析對比．

例1如圖1所示，小球距水平地面高度為h，將小球斜向上以拋射角α、速率v0拋出，求小球最大射程及此時的拋射角α．

解析

方法1（斜交分解法）將小球的運動分解為沿初速度方向的勻速運動和豎直向下初速度為0的自由落體運動，設小球落地速度為v1，則小球落地時速度斜交分解如圖2所示，根據三角形正弦定理有

圖2

對小球根據機械能守恒有

得

小球射程x＝v0cosα·t，結合式①②可得

方法2（利用斜拋運動結論求解）根據斜拋運線距離與落地點到準線距離之和為，根據拋物線幾何性質，拋出點、落地點到拋物線焦點距離之和恒定且為．根據三角形原理，當焦點與拋出點、落地點共線時，拋出點與落地點連線距離最大，為兩點到焦點距離之和，此時存在等式h，解得又根據拋物線幾何性質，．過焦點一直線與拋物線相交于A、B兩點，這兩點處切線互相垂直，因此末速度方向垂直于初速度方向，由圖2可得

例2如圖3所示，傾角為θ的斜面，將一質點從底端以速率v0斜向上拋出去，求質點在斜面上的最遠射程，及此時的拋射角α．

圖3

解析

設質點落在斜面上時在斜面上產生的位移為L，利用斜拋運動結論可知，起點到拋物線準線距離為落點到拋物線準線距離為θ，因此兩點到準線距離之和為．由拋物線幾何性質知兩點到拋物線焦點距離之和也為Lsinθ．根據三角形原理，兩邊之和大于第三邊，當三點共線時取“＝”，故有，得L≤，此時焦點在斜面上．

根據拋物線幾何性質，過焦點的弦的兩端點處切線互相垂直，因此末速度方向垂直于初速度方向，設末速度為vt，則根據速度斜交分解法，由圖2可知，同時根據機械能守恒有mg Lmaxsinθ，由以上兩式可得

由上式可得