巧用平拋推論解題

◇ 安徽 趙玉龍 重慶 楊天才

1 平拋運(yùn)動(dòng)結(jié)論及推論

結(jié)論質(zhì)點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，如圖1所示，速度偏角與位移偏角滿足關(guān)系式tanα＝2 tanβ（證明略）．除此之外，平拋運(yùn)動(dòng)還有以下推論．熟練應(yīng)用它們會(huì)給解題帶來便利．

推論1末速度的反向延長(zhǎng)線交于水平位移的中點(diǎn)．即

圖1

證明如圖1所示，從O點(diǎn)拋出的物體經(jīng)時(shí)間t到達(dá)A點(diǎn)，合速度的反向延長(zhǎng)線交x軸于B點(diǎn)．由結(jié)論知B為OC的中點(diǎn)．

推論2以不同初速度平拋的物體落在斜面上各點(diǎn)，位移方向相同，末速度方向互相平行，與初速度無關(guān)，即α1＝α2．

證明如圖2所示，從傾角為θ的、足夠長(zhǎng)的斜面頂點(diǎn)A，先后將同一物體以不同的初速度水平向右拋出，第一次初速度為v1，物體落到斜面上前一瞬間的速度方向與斜面的夾角為α1，第二次初速度為v2（v2＞v1），物體落在斜面上前一瞬間的速度方向與斜面間的夾角為α2，由結(jié)論結(jié)合圖中的幾何關(guān)系可得tan（θ＋α）＝2 tanθ，此式表明速度方向與斜面間的夾角α僅與θ有關(guān)，而與初速度無關(guān)，因此α1＝α2．

圖2

推論3以不同初動(dòng)能平拋的物體落在斜面上各點(diǎn)的末動(dòng)能僅與初動(dòng)能和斜面傾角θ有關(guān)，與高度無關(guān)，即Ek＝Ek0（1＋4 tan2θ）

圖3

證明如圖3所示，從傾角為θ的足夠長(zhǎng)的斜面頂點(diǎn)a將一小球以一定的初動(dòng)能Ek0水平向右拋出，設(shè)物體落在斜面上前一瞬間的速度方向與斜面間的夾角為α，因?yàn)镋k＝由結(jié)論可知Ek＝Ek0（1＋4 tan2θ）．此公式也適用于類平拋運(yùn)動(dòng)，且與恒力大小、初速度大小、質(zhì)量大小等因素?zé)o關(guān)．

推論4從傾角為θ的斜面底角正上方平拋物體，能垂直打到斜面上，物體的初速度和高度有定量關(guān)系（平拋的高度為h），即

證明如圖4所示，從傾角為θ的斜面底角正上方平拋物體，垂直打到斜面上，由幾何關(guān)系和結(jié)論，得v0t，解得

圖4

推論5從傾角為θ的斜面底角正上方平拋物體，要使路徑最短（位移方向與斜面垂直），物體的初速度和高度有定量關(guān)系（平拋的高度為h），即

證明如圖5所示，從斜面底角正上方平拋物體，要使路徑最短，由幾何關(guān)系和結(jié)論有，解得

圖5

推論6如圖6所示，從傾角為θ的斜面某位置上方以相同的速度平拋物體，垂直打到斜面上和以最短路徑打到斜面上，平拋高度之比為常數(shù)，即h1∶h2＝（1＋sin2θ）∶4．

圖6

證明由推論4和5得平拋的高度之比為

推論7如圖7所示，物體從光滑圓弧面A由靜止釋放，從B點(diǎn)水平飛出，落在傾角為θ的斜面上的C點(diǎn)，AB的高度為h，BC的高度為H，則h與H有定量關(guān)系，即H＝4htan2θ＝htan2α．

證明由機(jī)械能守恒得由結(jié)論解得

圖7

推論8如圖8所示，物體水平拋出，恰好沿傾角為θ的斜面滑上斜面，則h與s之間有定量關(guān)系，與初速度大小無關(guān)，即

圖8

證明由結(jié)論知tanθ＝解得，與初速度大小無關(guān)．

推論9如圖9所示，左右兩斜面的傾角分別為θ和，物體從高為H處以初速度v0水平拋出，垂直打在右斜面上，落點(diǎn)的高度為h，則h與H有定量關(guān)系，即H＝h（2＋tan2θ）．

圖9

證明由結(jié)論可知，解得H＝h（2＋tan2θ）．

推論10如圖10所示，從O點(diǎn)拋出的物體落在圓弧上，要使動(dòng)能取得最小值，落點(diǎn)的位移偏角為與R無關(guān)的定值，即

圖10

證明設(shè)小球落到圓弧上時(shí)下落豎直高度為y，水平位移為x，動(dòng)能為Ek，小球平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為v0，圓弧AB的半徑為R．水平方向:x＝Rcosθ＝v0t；豎直方向，解得；對(duì)小球，由動(dòng)能定理可得mgy＝，解得，由數(shù)學(xué)知識(shí)知，當(dāng)，即sin，即有最小值，此時(shí)動(dòng)能最小為（v0與R相關(guān)），即使R改變，θ也不變．

2 部分推論應(yīng)用舉例

例1如圖11所示，AB為半圓環(huán)ACB的水平直徑，C為環(huán)上的最低點(diǎn)，環(huán)半徑為R．一個(gè)小球從A點(diǎn)以速度v0水平拋出，不計(jì)空氣阻力，則下列判斷正確的是（ ）．

圖11

A．v0越大，小球落到圓環(huán)時(shí)的時(shí)間越長(zhǎng)

B．v0取值不同，小球掉到環(huán)上時(shí)的速度方向和水平方向之間的夾角相同

C．若v0取值適當(dāng)，可以使小球垂直撞擊半圓環(huán)

D．無論v0取何值，小球都不可能垂直撞擊半圓環(huán)

解析

小球落在環(huán)上的最低點(diǎn)C時(shí)時(shí)間最長(zhǎng)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤．v0取值不同，小球掉到環(huán)上時(shí)的速度方向和水平方向之間的夾角不相同，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．若小球垂直撞擊半圓環(huán)，根據(jù)推論1，小球落點(diǎn)速度的反向延長(zhǎng)線通過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)，即圓心，也就是說小球的位移為直徑，顯然這是不可能的，所以選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．

例2如圖2所示，從傾角為θ的足夠長(zhǎng)的斜面頂點(diǎn)A，先后將同一小球以不同的初速度水平向右拋出，第一次初速度為v1，球落到斜面上前一瞬間的速度方向與斜面的夾角為α1，第二次初速度為v2，球落在斜面上前一瞬間的速度方向與斜面間的夾角為α2，若v2＞v1，試比較α1和α2的大小（ ）．

A．α1＞α2B．α1＜α2

C．α1＝α2D．無法確定

根據(jù)推論2直接確定選項(xiàng)C正確．

圖12

例3（2013年安徽卷）如圖12所示的平面直角坐標(biāo)系x Oy，在第Ⅰ象限內(nèi)有平行于y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿y軸正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于x Oy平面向里，正三角形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，且ab邊與y軸平行．一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子，從y軸上的P（0，h）點(diǎn)，以大小為v0的速度沿x軸正方向射入電場(chǎng)，通過電場(chǎng)后從x軸上的a（2h，0）點(diǎn)進(jìn)入第Ⅳ象限．不計(jì)粒子所受的重力．求:

（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；

（2）粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向．

圖13

解析

（1）設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則有

聯(lián)立以上各式可得

例4（2014年新課標(biāo)卷Ⅰ）如圖14所示，O、A、B為同一豎直平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，OB沿豎直方向，∠BOA＝60°，．將一質(zhì)量為m的小球以一定的初動(dòng)能自O(shè)點(diǎn)水平向右拋出，小球在運(yùn)動(dòng)過程中恰好通過A點(diǎn)．求:小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能與初動(dòng)能的比值．

圖14

解析

方法1設(shè)小球的初速度為v0，初動(dòng)能為Ek0，從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間為t，令OA＝d，則，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有

設(shè)小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為EkA，則EkA＝，解得

方法2根據(jù)推論3，Ek＝Ek0（1＋4 tan2θ），其中θ＝30°，代入已知條件得

例5如圖4所示，在傾角θ＝37°的斜面底端的正上方h處，平拋一個(gè)物體，該物體落到斜面上的速度方向正好與斜面垂直，則物體拋出時(shí)的初速度為（ ）．

例6如圖7所示，小球從靜止開始沿光滑曲面軌道AB滑下，從B端水平飛出，撞擊到一個(gè)與地面成θ＝37°的斜面上，撞擊點(diǎn)為C．已知斜面上端與曲面末端B相連，若AB間的高度差為h，BC間的高度差為H，則h與H的比值等于（ ）（不計(jì)空氣阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）．

例7如圖9所示，兩傾角分別為37°和53°的斜面體放置在水平面上，頂點(diǎn)對(duì)接于O點(diǎn)，將它們固定，將一小球自斜面上的A點(diǎn)以某速度水平拋出，恰好垂直打在斜面2上，已知A點(diǎn)到O點(diǎn)的高度為H＝0.41m，g取10 m·s－2，求小球在斜面2上落點(diǎn)的高度．

根據(jù)推論9解得，h＝0.16m．

例8如圖10所示，豎直平面內(nèi)有一個(gè)四分之一圓弧AB，OA為水平半徑，現(xiàn)從圓心O處以不同的初速度水平拋出許多個(gè)質(zhì)量相同的小球，小球可以看作質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，當(dāng)小球落到圓弧上時(shí)（ ）．

A．速度的反向延長(zhǎng)線可能過OA的中點(diǎn)

B．小球在圓弧上的落點(diǎn)越靠近B點(diǎn)動(dòng)能越小

C．小球落在圓弧中點(diǎn)處時(shí)動(dòng)能最小

D．動(dòng)能最小的位置在圓弧中點(diǎn)的上方

解析

做平拋運(yùn)動(dòng)的物體速度方向的反向延長(zhǎng)線過水平位移的中點(diǎn)，如果速度的反向延長(zhǎng)線過OA的中點(diǎn)，則小球的水平位移為R，從O拋出的小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由于圓弧的約束，小球的水平位移不可能是R，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；小球落到圓弧上時(shí)的動(dòng)能從A到B先減小后增大，小球動(dòng)能最小的位置，在AB中點(diǎn)的上方，選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．