解三角形中的最值與范圍問題

◇ 江西 曾 偉

在高考數學中，解三角形中經常有兩種題型，一種是三角形基本量的計算，如求角、邊、面積等，屬于基礎常規題；另一種就是求最值或范圍問題，相對前者而言，這類問題較難，學生不容易掌握．本文將從以下的例題和練習題中，尋求求解三角形中最值與范圍問題的一般策略與方法．

1 解三角形中的最值問題

例1（2020年全國卷Ⅱ）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC＝3，求△ABC周長的最大值．

解析

（1）在△ABC中，設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則由正弦定理和已知條件得

由余弦定理，得

（2）方法1已知a＝3，由正弦定理及（1）得

方法2由a＝3，a2－b2－c2＝bc，得9＝b2＋c2＋bc≥3bc，所以bc≤3，當且僅當b＝c時等號成立．又（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝9＋bc≤12，所以b＋c≤．因此△ABC周長的最大值為，當b＝c（即）時取得最大值．

點評

此題第（2）問考查△ABC周長的最大值，方法1根據正弦定理結合已知條件將三角形周長表示為關于角B的三角函數，運用輔助角公式，結合角B的范圍求得周長的最大值，該方法較為常規，體現了高考試題的基礎性與穩定性．方法2運用了基本不等式，因為a已知，所以求三角形周長的最大值即轉化為求b＋c的最大值，最后轉化為求bc的最大值，而bc的最大值可根據已知條件及基本不等式求得，該方法具有一定的技巧性，需要考生結合最終目標進行相應的轉化．

例2在△ABC中，則AB＋2BC的最大值為________．

解析

方法1因為B＝60°，A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，由正弦定理，得

所以AB＝2 sinC，BC＝2 sinA，所以

方法2設AB＝c，AC＝b，BC＝a，由余弦定理，得，所以a2＋c2－ac＝b2＝3，設c＋2a＝m，代入上式消去c，得7a2－5am＋m2－3＝0，由Δ＝84－3m2≥0，得，當時，符合題意，因此AB＋2BC的最大值為

點評

方法2是值得我們思考的，如果是求AB＋BC的最大值，那么可以完全照搬例1中的方法2，可是一旦變成求AB＋2BC，我們就需要另尋他法了．

例3（2016年江蘇卷）在銳角△ABC中，若sinA＝2 sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是_________．

解析

方法1因為sinA＝2 sinBsinC，所以sin（B＋C）＝2 sinBsinC，兩邊同時除以cosBcosC，得tanB＋tanC＝2 tanBtanC，因為

設x＝tanBtanC－1＞0，

當且僅當x＝1（tanA＝4）時，等號成立，故tanA·tanB·tanC的最小值是8．

方法2由已知條件得tanB＋tanC＝2 tanBtanC，則

故tanAtanBtanC≥8，即其最小值為8．

點評

本題是2016年江蘇卷填空題的壓軸題，難度較大．方法1結合正切的誘導公式利用換元法將tanAtanBtanC化為的形式，其最值便一目了然．方法2用到了三角形中的恒等式tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC，再利用基本不等式得到最值，思路清晰，解法簡捷．

2 解三角形中的取值范圍問題

例4（2020年浙江卷）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

（1）求角B；

（2）求cosA＋cosB＋cosC的取值范圍．

解析

（2）由A＋B＋C＝π，得，由△ABC是銳角三角形，得由

得

故cosA＋cosB＋cosC的取值范圍為

點評

此題解法與例1解法的方法1相似，需要注意的是△ABC是銳角三角形，則只有角的范圍準確才能得到正確取值范圍．

例5（2019年全國卷Ⅲ）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知

（1）求B；

（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．

解析

因為sinA≠0，所以．由A＋B＋C＝π，可得，故

（2）方法1由c＝1及，可知△ABC的面積．由正弦定理，得

由于△ABC為銳角三角形，故，由，知，所以，故，從而，因此△ABC面積的取值范圍是

方法2（極限思想、極端原則）如圖1所示，AB＝c＝1，，若△ABC為銳角三角形，則點C位于DE之內，故a＝BC∈（BD，BE），因為，所以

圖1

由于△ABC的面積，因此其取值范圍是

例6（2015年全國卷Ⅰ）在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是________．

解析

方法1如圖2所示，連接AC，設∠BAC＝α，則 ∠ACB＝105°－α．由正弦定理，可得由于α＜75°，且105°－α＜75°，得α∈（30°，75°），所以故

圖2

方法2（極限思想、極端原則）如圖3所示，延長BA，CD交于點E，過點C作DA的平行線交AB于點F．平移AD，當點A與點D重合于點E時，AB最長．在△BCE中，由正弦定理，得

圖3

平移AD，當點D與點C重合，點A與點F重合時，AB最短．在△BCF中，由正弦定理，得，所以

點評

由例5和例6可知，在三角形中求取值范圍時要盡可能地利用已知條件，當要求的式子能用角的三角函數表示時，僅需根據已知條件確定角的范圍即可；當能用邊長表示時，需要借助正弦定理將邊化為角，才可以更好地求取值范圍．同時，利用極限的思想、極端原則給該類問題提供了一種新的思路，方法較新穎，值得反思與推敲．

3 訓練鞏固

以下精選幾道習題，供讀者練習鞏固，希望讀者解決該類問題的思路與方法能得到更進一步的升華．

練習1△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若B＝2A，cosAcosBcosC＞0，則的取值范圍是（ ）．

練習2△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為若a＋b＝4，則c的取值范圍為（ ）．

A．（0，4） B．[2，4）

C．[1，4） D．（2，4]

練習3已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，若c為最大邊，則的取值范圍是（ ）．

練習4若△ABC的面積為且∠C為鈍角，則∠B＝________；的取值范圍是________．

練習5△ABC的垂心H在其內部，∠BAC＝60°，AH＝1，則BH＋CH的取值范圍是________．

練習6在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且2csinB＝3atanA．

（2）若a＝2，求△ABC面積的最大值．

練習7在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為

（1）若a，b，c成等差數列，試判斷△ABC的形狀．

（2）求a＋c的取值范圍．

解三角形中的最值與范圍問題是高考數學的一類熱點題型，幾乎每年必考．通過以上的例題與練習題我們發現，解決該類問題的方法主要有統一化角，將問題轉為三角函數值域問題，或是根據已知條件利用基本不等式求得最值．有時也需要用到極限的思想，通過考慮極端位置來確定取值范圍．每種方法中都有需要注意的關鍵點，比如統一化角時一定要清楚角的范圍，利用基本不等式時要注意等號成立的條件．通過此文，希望讀者對解三角形中的范圍與最值問題理解更深刻，思路更開闊，解題更靈敏．