2020年高考中的“三角”元素

2020-11-23 06:03:00四川尹大貴

高中數(shù)理化 2020年17期

◇ 四川尹大貴

“三角”問題歷來是高考考查的重點，高考中除了重點考查三角函數(shù)和解三角形等純“三角”知識外，以“三角”為載體的數(shù)學問題或“三角”方法在解決數(shù)學問題中的應用，也常常被高考命題者青睞．本文以2020年高考試題為例，探究高考中的“三角”元素．

1 充要條件判斷中的“三角”元素

例1（2020年北京卷）已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的（）．

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

解析

當存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ時，若k為偶數(shù)，則sinα＝sin（kπ＋β）＝sinβ；若k為奇數(shù)，則sinα＝sin（kπ－β）＝sin[（k－1）π＋πβ]＝sin（π－β）＝sinβ．

當sinα＝sinβ時，α＝β＋2mπ或α＋β＝π＋2mπ，m∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ（k＝2m）或kπ＋（－1）kβ（k＝2m＋1），故存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ．

綜上，“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充要條件．故選C．

點評

本題是以三角函數(shù)誘導公式為背景的充要條件判斷問題，考查了充要條件的判斷、三角誘導公式及分類討論思想的運用．

2 圖象判斷中的“三角”元素

例2（2020年浙江卷）函數(shù)y＝xcosx＋sinx在區(qū)間[－π，π]的圖象大致為（）．

解析

因為f（x）＝xcosx＋sinx，則f（－x）＝－xcosx－sinx＝－f（x），即f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關于坐標原點對稱，所以選項C，D錯誤；當x＝π時，f（π）＝π cosπ＋sinπ＝－π＜0，所以選項B錯誤．故選A．

點評

本題需先確定函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合函數(shù)在x＝π處的函數(shù)值排除錯誤選項．函數(shù)圖象的辨識可從以下幾個方面入手篩選選項:1）利用函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；2）利用函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；3）利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；4）利用函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；5）利用函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．

3 數(shù)學文化中的“三角”元素

例3（2020年北京卷）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日．歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學中的“割圓術”相似，數(shù)學家阿爾·卡西的方法是當正整數(shù)n充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術平均數(shù)作為2 π的近似值．按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達式是（）．

解析

內(nèi)接正6n邊形的每條邊所對應的圓周角為，每條邊長為，所以單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長為；外切正6n邊形的每條邊長為，其周長為，所以

點評

本題先計算單位圓的內(nèi)接正6n邊形和外切正6n邊形的周長，再利用它們的算術平均數(shù)作為2 π的近似值得出結(jié)果，體現(xiàn)了三角函數(shù)應用的廣泛性．

4 數(shù)學應用中的“三角”元素

例4（2020年新高考卷Ⅰ）某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖1所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．