多元聯結：讓數學理解真正發生——對幾個教學片段的賞析與思考

江蘇江陰高新區金童中心小學 李 毅

數學學科知識是以一定的方式進行聯結，以一定的邏輯關系組成的一個有機整體。這一特點決定了數學教學要讓學生在“關聯”中學習，要以合適的方式，在數學學習過程的各要素之間創建“多元聯結”，促使學生對數學知識、數學本質準確建構心理意義，形成良好的認知結構，實現對學科知識的深度理解。

一、“沖突”聯結：借助顯性理解隱性

“數學是關于模式的科學”，抽象是數學最本質的特征，直觀的圖形、數據等載體背后往往隱藏著抽象的特征、規律，有些數學知識本身的含義更是內隱,難以理解。隱性的數學知識，如何才能讓它直觀地顯化？

案例：平均數的虛擬性

情境：2分鐘投籃比賽

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借助小丁丁，明確了通過“比平均數”判斷投籃水平高低后，教師分三個層次引導學生找4個同學五輪投籃個數的平均數，在找的過程中探索平均數的求法，同時體驗平均數的重要特性——虛擬性。

1.特殊數列，發現“移多補少”

師：小胖投籃的平均數是多少？小亞呢？

生：小胖每輪都是5個，所以平均每輪投中5個；而小亞投籃的個數是連續自然數，在直觀統計圖的“刺激”下，學生想到了 “移多補少”的方法，并在課件中的統計圖上動手操作驗證。

2.制造沖突，引出“求和平均”

教師趁熱打鐵：小巧投籃的平均數是多少？學生爭著要在電腦上移多補少，幾次下來，卻發現居然“平均不了”！高漲的熱情頓時被澆了冷水，但同時更激起學生的思考欲望，稍加思索，學生便提出了“求和平分”的計算方法。借助計算器，出乎意料地得到了小數結果：（8+8+4+7+5）÷5=6.4（個）。

3.再設沖突，體驗“虛擬性”

師：6.4個，是實實在在投進的個數嗎？

生1：不是投進的個數，投籃個數沒有小數的。

生2：投籃個數不可能是半個的。

師:是啊，實際根本投不出6.4個，那6.4個到底是什么意思？

生1：6.4個是把5輪投的個數勻的一樣多的個數。

生2：6.4個就是5輪投的個數的平均數，不是真實投的個數。

生3：它表示的是這幾次投籃平均后的個數，不是哪一次投的個數。

師（總結）：平均數是一個虛擬的統計量。

師：小亞第三輪投的6個和平均數6個意思一樣嗎？

……

這段精彩的教學是顧亞龍老師執教《平均數》一課時呈現的一個片段。顧老師的教學，創造性地給了學生“小數”這一直觀化的“思維拐杖”，“真實的個數”與“虛擬的個數”就此自然聯結，“6.4個是實實在在投進的個數嗎？6.4個到底是什么意思？”精準的兩次導疑，讓學生借助“小數”深刻體會到了平均數的虛擬性，真正理解了平均數的含義。

給隱性的知識以恰當的方式找尋顯性的“拐杖”，借助顯性聯結隱性，使內隱的知識直觀外顯，理解自然發生。

二、“溯源”聯結：借助學具理解工具

小學階段的數學學習中，學生需要掌握一些數學工具的使用，例如，直尺、量角器、圓規。那么，學生對這些工具的學習，是否僅需停留在操作使用技能的熟練程度上？會使用工具，是否就說明學生完全理解了操作的過程？ 我們怎樣才能給學生一種完整、豐富、透徹的工具學習經歷？

案例：圓規畫圓

1.畫圓的本質

師：剛才我們一起認識了圓一中同長的獨一無二的本質特征，你會畫一個圓嗎？

師：你能想到哪些畫圓的方法？（課件播放釘繩畫圓動畫）畫圓時怎樣保證畫得圓？（一中，同長——繩長不變）

2.學具的缺陷

師（硬幣畫圓）：老師這兒有兩支鉛筆、一枚硬幣，誰能來畫一畫？

師：用硬幣畫圓有什么缺點？（畫不出大小不同的圓）

師（兩支鉛筆）：若只用這兩支鉛筆，能畫一個圓嗎？（實物投影展示）

師：這樣畫圓有一個優點，就是可以畫出大小不同的圓。

師：你想不想來試試？看誰畫得又快又好。

師：用兩支鉛筆畫圓有什么感受？要注意什么？

師（小結）：要做到“一中”，這第一支鉛筆能不能移動位置？要做到“同長”，這兩支鉛筆的間距能不能改變？

3.工具的產生

師：聰明的人類，為了做到以上兩點，用針代替了這第一支鉛筆，便于固定位置，又用特殊的機械裝置，使這兩支筆既能自由調整間距又相對固定，這就是現在人們常用的專業的畫圓工具：圓規。

4.圓規的使用

師：拿出信封中的圓規，請你畫一個圓。 感覺怎么樣？用圓規畫圓既方便，又可以畫出大小不同的圓。

圓規畫圓的教學，我們往往偏重于使用技巧的教學：如何捏、如何旋轉才能畫得更好，很少去思考圓規這個工具背后所關聯的知識本質、發明創造的由來以及承載的精神文化。上述的片段，深刻追溯圓規的構造原理，利用簡易學具巧妙聯結專業工具，使學生對工具的認識也能“知其然，也知其所以然”：首先借助釘繩畫圓說明畫圓的本質就是圓的特征“一中同長”；接著設計了硬幣畫圓和兩支鉛筆畫圓兩次畫圓活動，這兩件自制學具用來畫圓，存在著各自的缺陷：不能畫大小不同的圓，難以保持兩腳間的距離不變，在學生體會到了學具的缺陷后，再引出專業畫圓工具——圓規，對比之下，學生對圓規的構造原理不言自明，理解清晰；而經歷了學具到工具的改進過程，也能讓學生感受到前人的智慧和不斷追求發展的數學精神。

對已然定型固化的工具，溯其構造根源，創造恰當的原型學具，借助學具聯結工具，使工具“活化”，理解自然發生。

三、“遷移”聯結：借助已知理解未知

數學知識是前后關聯、邏輯嚴密的一個系統整體，數學學習是循序漸進、螺旋上升的過程。對學生的學習而言，“未知”都可由相關聯的“已知”發展而來。如何才能找準已知和未知的結合點，并構造恰當的學習材料，引導學生進行有效的遷移學習，從而構建良好的認知結構？

案例：分數單位

1.已知：自然數的計數單位

師：一個長方形用自然數1表示，那么兩個長方形是幾（圖1）？為什么？

生：是2，因為它由2個一組成的。

師（出示圖2）：現在是幾了？為什么？

生：是5，它由5個一組成。

師：是啊，一是自然數的計數單位，有幾個一組成的數就是幾。除了一，我們還學過其他的計數單位嗎？

2.遷移：分數的計數單位

師：現在圖3中的陰影部分該用哪個數表示？為什么?

師（指圖4）：現在是幾分之幾？它能像自然數一樣數出來嗎？用多少來數？

師：真棒，我們一起來數一數……

3.求同：分數單位的含義

分數單位是緊跟分數的意義之后一個“淺顯易懂”的概念，但分數單位的數學意義僅僅是“分子是1的分數”嗎？學生對這個概念的理解還有什么缺失嗎？上述的教學片段給我們以新的教學視角：分數單位的本質是一種計數單位，以計數單位為上位概念聯結分數單位，實現學生認數系統的拓展。上述片段中首先借助直觀圖激活學生關于自然數計數單位的經驗，然后順勢將“1”平均分，得到分數，以“它能像自然數一樣數出來嗎？用多少來數？”啟發學生將自然數的計數經驗遷移類推到分數中來，在多次的“數一數”的過程中，學生真切體驗到了幾分之一這類分數的特殊性——它們是組成分數的基本單位。最后通過求同比較“它們有什么共同點？”，分數單位的概念就水到渠成了。由已知的“計數單位”生長出未知的“分數單位”，學生獲得的就不僅僅是一個孤立的知識點，而是形成了一個良好的認知結構，真正理解了概念的本質。

抓住數學知識的核心本質，依據學生的思維特點和認知水平，借助已知聯結未知，合理構建已知到未知的變化序列，理解自然發生。