“植”根源頭 “樹”立思想

摘 要： 《植樹問題》一課是大家耳熟能詳的典型課例，我也教過多次，但學生的錯誤依舊不斷，這也促使著我再探究竟。通過多次課堂實踐及教研組同事們的傾力協助，我進行了深刻反思和整理。文章從“魚—漁—喻”的角度，并以《植樹問題》一課為例，探討教師在一線教學中，如何分析教材、剖析錯誤，從教會學生知識到培養學生能力，進而發展學生素養。

關鍵詞： 植樹問題;兩端都種;數學思想

一、 引子——課材領航，指明方向

《植樹問題》在人教版五上數學廣角中，共編排了3個例題、1個練習。例題分別是兩端都種、兩端都不種（兩旁）、封閉圖形。課標中指出：數學廣角主要目的就是讓學生體會知識的形成過程和感悟數學思想方法。植樹問題就是要讓學生在實際情境中，抽象出數學問題，經過動手操作、推理得出結論，最后把結論運用于實際問題的解決，并在探索活動中滲透數學思想方法，建立數學模型。這里的數學思想方法應該有“簡單的劃歸”（化繁為簡就是一種簡單的化歸思想），“數形結合”“一一對應”“推理”以及“比較”的學習策略等等。

二、 探索——實踐反思，重“樹”思想

（一）授之以魚——教知識——掌握知識

初次思考就頗費腦筋，我不能像俞正強老師那樣另立新意，從“平均分”這樣獨特的角度再找出一個點來切入，那怎么辦呢？一個數學老師最大的本領是將散落在課本中各個知識點，串聯起來，將書本“由厚變薄”。我努力去尋找一條線，這條線可以把相關的例題整合在一起，將知識點串聯在一起。

1. 熱點引入、一線牽頭

植樹問題中主要的數學思想是模型思想，也是植樹問題的重難點，即讓學生從生活情境中抽象出數學問題，通過探究，建立模型。首先要找到一個與植樹問題相關的生活“熱點”來引入，我想到了支付寶里的螞蟻森林，螞蟻森林是一項公益事業，就是植樹造林。其次是找到一條“主線”，引導學生在螞蟻森林的情境中抽象出數學問題，在“兩端未知的情況下植樹”這條主線上，通過畫線段圖、列算式等，一步一步地來探究植樹問題中的數量關系和變化規律，推理出相應的結論，并尋找結論與生活的聯系，最終建立起植樹問題的數學模型。

2. 按部就班、平均發力

最初的設計是按順序給出三個例題，分別是“兩端都種”“只種一端”（一端插上了木牌）、“兩端都不種”（兩端都插上了木牌），探究每個例題時，都給予同樣的時間精力讓學生畫圖解決、推理結論。那么，植樹問題的“三種類型”需要平均發力嗎？顯然不是，因為按照順序給出例題，看似穩扎穩打，層層遞進，但不利于學生思維的發散和拓展，這種只按老師意愿進行的課堂教學，又回到了傳統教學的老路。

3. 配套練習、穩扎穩打

以下是我最初的練習設計：

（1）某公交路線全長13千米，平均每相鄰兩個站點的距離為1千米。一共有幾個站？

（2）一根木頭長10米，每隔2米鋸一段，一共要鋸多少次？

（3）開運動會了，學校打算在一條長60米的跑道邊上插彩旗（只插一端），每隔1.5米插一面，一共要準備多少面彩旗？

（4）月牙泉全長約240米，泉水很深，為了安全，工作人員在泉水四周安裝了柱子，每隔2米安裝一根，并用鐵鏈圍起來。問一共安裝了多少根柱子？

由習題可見，每個結論都通過對應的練習，穩扎穩打，把每個知識點都強化鞏固，看似無可厚非，但是這樣的練習設計是否有利于學生對植樹問題四種類型的整體把握呢？是否可以更開放呢？是否讓學生自己去發散？

授之以魚，就是教師教會學生知識，讓學生掌握知識，這樣的傳統設計有一定的意義，但顯然可以更加開放。因此，我重新開始思考。

（二）授之以漁——教方法——提高能力

實踐是檢驗真理的唯一標準，只有實踐才能發現問題，而初次課堂實踐就暴露出很多設計上的問題，“授之以魚，不如授之以漁”，教知識，更要教方法，在大家的幫助下，我進行了調整。

1. 整合例題，開放思維

既然是探究，就要開放，這次我摒棄了按序教學和平均發力的教學設計，把三個例題進行了整合，把兩端的情況隱蔽掉，讓學生自主去思考不同的情況，同時，也可以培養學生思考問題嚴密性的解題習慣。

例題：在庫布其荒漠，工作人員已經挖好了一條長2000米的溝，打算在溝里種植一排沙柳，每隔5米種一棵。一共要準備多少棵沙柳？

2. 尋找源頭，確定切口

集體反饋是本節課的重點環節，那么我們應該選擇哪種類型作為“切入口”最合適呢？換言之，哪種類型最容易被學生想到，最容易被接受，為了尋找心中的答案，我們對二到五年級學生進行了前測，以下是前測的內容與結果。

工人叔叔在一條長20米的小路一邊種樹，打算每隔5米種一棵，他要準備多少棵樹？（請用畫圖和算式說明你的想法）

（1）你知道上題是一個什么問題嗎？（2）生活中有差不多類型的問題嗎？請你舉兩個例子。（3）對這類問題你有什么疑惑的地方嗎？

從前測統計得出，在兩端未知的情況下，各年級的孩子多理解為“兩端都種”，答案也是5棵居多。前測是考察孩子生活經驗與已有基礎，這說明他們在實際生活中，接觸最多的情形是“兩端都種”。所以，“兩端都種”作為植樹問題的“切入口”最合適。

3. 抓住核心，統率整體

當以“兩端都種”為切入口時，我們需要如何教學？植樹問題的源頭是平均分，其本質就是間隔問題，就是把總長進行平均分，每段長度相等。但植樹是種在點上，然后點和段依次重復出現。所以植樹問題的核心是“段和點的關系”，我們必須從段和點著手，引導學生通過探究段（段數）和點（棵數）之間的關系，最終推理出結論。

那么怎么抓住“段和點”的關系呢？首先要引導學生用“畫圖”“列式”等方法來研究，這就是“授之于漁”，就是教方法。然后，要引導學生在線段圖中找段與點的關系，可以是數一數或直接觀察，但是當段數很多的時候，可以進一步引導學生通過“一一對應”的方法去圈一圈，找出段與點的對應關系，從而來發現“兩端都種”時，棵數=段數+1，幫助學生建立植樹問題的一般模型。

（三）授之以喻——教思想——發展素養

華應龍曾說：“過去我們的教學只為了結果，掐頭去尾，精講多練，重在知識;現在，我們的教學還為了過程，從頭到尾，自主探究，重在體驗。”植樹問題承擔了很多思想方法，而“教思想”是最難琢磨的，這是一個無聲勝有聲的滲透過程。

1. 一一對應

植樹問題背后的思想是“一一對應”，是重要的數學思想方法，要引導學生去發現，通過一一對應，找到一棵數（點）對應一段（或者一個間隔），最后來看看，棵數有沒有多或少，從而來發現規律。

教學片段：

匯報過程中，引導學生認識“總長”“每段長度”“段數”，理清并板書“總長÷每段長度=段數”的關系，板書算式：20÷5=4（? ）

追問：4后面是什么單位，為什么？

師：為什么要加1？怎么看出來？你能在圖上圈一圈嗎？最后，把圈好的線段圖展示在黑板上。

多次課堂實踐中，我發現很多孩子都寫20÷5=4（棵），4+1=5（棵），這里需要引導學生明確20÷5算出來的4表示4段。同時，也發現很多孩子沒有主動用“一一對應”的思想方法來圈一圈的，但孩子并不陌生，只需教師稍加提醒，都能很好地使用“一一對應”的方法，將一棵樹與一段圈在一起，依次圈完，從而發現聯系。

2. 模型思想

模型思想也是植樹問題中重要的數學思想，要求學生從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號表示植樹問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。我以螞蟻森林為例，引導學生將其抽象成線段圖，再通過探究得出結論，建立起“棵數=段數+1”的一般模型，并深化和完善規律，建立起完整的數學模型。

數學源于生活，用于生活，植樹問題的模型還需要拓展，勢必要和生活聯系，我設計的3個練習都是圍繞著這個意圖展開的。

（1）問題一：生活中有類似植樹問題的情形嗎？你能不能舉個例子呢？我可以把它放在植樹問題的哪種情況里？

（2）問題二：公交路線。

教學片段：

師：你覺得公交站與植樹問題有什么聯系？屬于哪一種情況？為什么？公交站相當于什么？還有呢？

追問：那又有什么不一樣？你觀察得很仔細，看來植樹問題的路線不一定是直的，彎的也可以。

師：那還有什么不一樣？厲害，其實公交站的設置還要考慮路況、地形和人流量等等，所以每個公交站之間的距離有所不同，但如果平均一下，依然可以看作植樹問題。

盡管公交站路線有很多不同，但是規律和思考方式如出一轍，這樣的設計拓寬了植樹問題的內涵，讓植樹問題的模型更加完善和豐富。

（3）問題三：編一編。

①20÷5=4，4+1=5;②20÷5=4;③20÷5=4，4-1=3。

請你根據今天所學的知識，結合生活實際，選擇上面的一組算式，來編一道題。

這題不僅要求學生把植樹問題的原型與生活中的例子進行比較，還要求選擇算式來編題，也是在數學建模之后再次應用。不僅培養了學生的應用意識，也讓學生深刻地感受到植樹問題與生活的緊密聯系。

3. 轉化思想（化曲為直、化直為曲）

轉化思想的其中一種就是將未知的轉化為已知的，有利于探究解決新的問題。植樹問題里的封閉圖形便是如此。

教學片斷：

師：那么封閉圖形和我們前面的植樹問題有什么聯系？為什么？

預設：它與只種一端的情況一樣，我們把封閉圖形斷開后，其實就是一個只種一端的線段圖。如果把只種一端的線段圖，頭尾相連，就是封閉圖形。

封閉圖形斷開后拉直，就是只種一端的線段圖。只種一端的線段圖首尾相接，就是封閉圖形。

課件出示或動畫演示（如上圖）

通過“化曲為直”和“化直為曲”之間的轉變，打通了這兩種情況之間的聯系，加深了學生對植樹問題結論的理解。

教學有三重境界：一是教知識;二是教方法;三是教思想。這次磨課經歷，讓我深深地體會到新課程下的小學數學比以往更加重視數學思想方法的蘊含與滲透，我們在平時的教學中應適時地引導學生運用數學思想方法解決數學問題，內化學生的數學素養，真正地做到“植”入人心，“樹”立思想。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.數學課程標準（2011版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]梅建偉.“動手操作”有效性缺失現象芻議[J].中小學數學，2009（11）.

[3]陳健.兩種異化現象談引領學生有效動手操作[J].小學數學教師，2009（12）.

作者簡介：

倪建鋒，浙江省杭州市，浙江省杭州市蕭山區銀河實驗小學。