培養反思能力，提高數學學習效率

張家貴 張志勇

摘 要：數學學習困難生的形成，不積極、不善于進行反思是其重要原因之一，在數學教學中應通過適當的方法與途徑，強化反思意識與反思訓練，使學生學會反思的主要方法，并養成良好的反思習慣。

關鍵詞：數學教學;反思;思維;學習困難生

有數學家說過，“反思是數學思維活動的核心和動力”。對此，筆者在數學教學中研究學習困難生的成因時有深刻的感受。學生學習數學時，如果不積極反思，就錯失了解析問題的一個重要環節和有效訓練數學思維的機會，對問題的理解就缺乏深度與廣度，就不能優化思維活動過程而難以抓住問題本質;如果不善于反思，就不能很好地溝通知識間的相互關聯，就難以發現有效問題、產生創新見解以實現知識的內化及遷移。因此，引領學生積極有效地反思，對提高學習數學的效率是十分重要的。

一、強化反思意識

《普通高中數學課程標準》指出：“在學習數學和運用數學解決問題時，不斷地經歷直觀感知……反思與建構等思維過程，這些過程是數學思維能力的具體體現，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考和做出判斷。”課標還要求教學評價要關注學生“能否不斷反思自己的數學學習過程，并改進學習方法。”

反思對數學認知過程起指導、支配和反饋作用，它能充分發揮主體作用，使學生有效地控制自己的思維和學習過程，進而學會學習并培養數學綜合素養。但是，大部分數學學習困難生，反思意識與反思能力不強，遇到看似陌生的復雜數學問題時，很難對自己先前的思維過程進行總結或診斷。因此，要讓學生明了“通過反思對自身數學學習過程中的認知進行評價或診斷，能有效地提高學習效果”，從而使他們增強反思意識并積極開展反思活動。

二、教學生學會反思的主要方法

1.診斷錯誤，激發反思

引導學生發現各個環節中存在的障礙與偏差，從中獲得反思的對象信息，然后回顧找到思維活動中出現的“問題”，進行診斷性反思。

錯因診斷：向量的數量積是一個實數，若兩個實數相等，則它們的絕對值也相等。由①至②的推導成立;但學生運用實數絕對值的性質來移項、分解因式，做出③這一推導，把實數的性質用在 ?向量的運算中能成立嗎？

要幫助學生嚴謹地回顧自己的思維活動，看思路是否清晰、嚴密。如果出現了偏差，檢討出現偏差的原因，找到避免出現偏差的方法，通過舉證來印證并溝通新舊知識間的聯結，拓寬思維的視野，再通過變式訓練加以鞏固。通過對答題的疏失進行診斷性反思，使學生更好地把握數學概念的內涵與外延而理清思路，能增強對正確分析問題的思維活動的體驗，對學生思維能力的訓練才能達到應有的深度和廣度，才能更好地培養學生數學思維的準確性、敏捷性與概括性。

2.從不同角度切入，從殊途同歸的思維程序中選優

所謂反思，就是對問題及解題的思維活動，從新的視角，進行多層次、多方位地考察和分析。要重視一題多解、多題同解的訓練和變式訓練，通過創設適合學生認知心理特點的、層次分明的、多變的問題情境，激發學生的求知欲，由淺入深地啟發反思、引導探究，使學生養成從不同角度分析問題并優化解決問題的習慣。

思路1是容易想到的方法，先對思路1進行反思：“雖然能解決問題，但運算繁瑣費時。有運算簡易的方法嗎？”試著換一個角度切入，尋找根式是否與什么數學公式相似，發現兩個根式的幾何意義為動點與定點間的距離，進一步分析把需要化簡的方程式與橢圓聯系起來，就找到了快捷解題的巧妙方法與途徑，形成思路2。再對思路2進行反思，先回顧思維活動過程理清思路總結方法，再設想改動原式中的某個常數，或把x、y互相替換，會有何變化？又怎樣化簡？

3.反思問題本質，提高思維抽象程度

學生解析例1出錯，是因為忽視了向量的數量積與物理中求合力運算法則相同的本質;初看例2是根式方程，經過仔細觀察并與兩點間距離公式比對后，再進行數據處理、分析和空間想象，又發現這一根式方程的特殊本質——橢圓方程的一種形式。自然就生成出思路2，把化簡的目標指向構建橢圓的標準方程。

數學既要講邏輯推理又要講道理，在解決一個或幾個問題后，啟發學生聯想，尋找它們之間的關聯，分析問題的實質和蘊含的規律，將問題深化，可以使學生思維的抽象程度提高，較容易發現和把握問題的本質。

三、強化反思訓練，使學生形成良好的反思習慣

要從支持反思的對象的“基礎”及“趨于達到的進一步結論”上著手，通過不同途徑啟發和訓練學生多思考，積極地對解析數學問題的認知活動和結果進行自我認識、自我評價與自我調控，使學生形成良好的反思習慣并培養數學反思能力。

1.反思非智力因素對學習的影響

反思是認知過程中實施自我調控的重要方式。要從情感態度價值觀角度，引導學生反思學習的目的、態度、習慣與意志等非智力因素對學習的影響，使學生認識到自身存在的相關問題，并幫助他們加以改進，從而提高學習的主動性。

2.在學習“新知”時進行反思

通過預習后的反思，發現自主學習沒有理解或解決的問題，以便帶著問題聽課，集中注意力關注個性化的關鍵問題。

一邊聽老師講解知識、思路與方法，一邊反思萌生疑問或見解。如聽老師講解直線與平面垂直的判定時，反思“為什么一條直線與平面內兩條交叉直線垂直，這條直線就與這個平面垂直？”通過設想一條直線與平面內的一條直線或兩條平行直線垂直的多種圖像印證老師的講解，這樣的聽課反思使學習刺激的強度提高了，數學定理不再是背誦的條文，而是轉化為抹不去的形象。

3.對解題過程進行反思

日常性的反思訓練，主要是對解析典型數學題的具體解題過程進行反思。通過反思，學會運用數學知識、原理及思維方法發現解題策略與技巧，同時獲得深刻的思維體驗。有了深刻的體驗，在解別的題時，會受先前獲得的體驗的啟發，思維就容易被激活，就能快捷找準解決問題的策略與途徑。

（1）對習題立意進行反思

命題者要求學生掌握什么數學知識、方法、技巧？所要解析的問題，對解決哪些相關聯的問題有參照價值？這種反思，既有利于學生將習題情境與解決問題的概念、原理、技法鏈接起來訓練破題能力，又有助于學生把握具體的學習目標與學習重點。

（2）對解題過程中的思維活動進行反思

解題過程中，是否很好地理解了題意而快速、準確地捕捉到破題的思維目標指向？分析題干與設問之間的內在聯系的過程中，因為什么疏失而走了什么樣的彎路？這些疏失應該怎樣避免？

（3）對解題方法與技能進行總結性反思

解決當前問題還有哪些可行的方法？難題按普通途徑求解，環節多而費時費力，有沒有“巧”？發現“巧”有什么數學原理或規律可循？

如果改變題設的部分條件或求解目標，解析思路如何轉換？求解過程或結論將會出現怎樣的變化？使用的技法可以用來解決哪些問題？可否將當前命題推廣開來？如果認為可以推廣，進一步考慮并檢驗結果、結論的準確性與充分性等。

4.二次反思鞏固學習成果

教學生做好學習筆記，把好題目與好方法，把容易解錯的典題與失敗的教訓，有所側重地記錄下來，過一段時間后看看，回顧先前的學習過程與反思活動，進行二次反思、探討。這不僅是復習鞏固，還可能有新的發現，獲得更深刻的認知，是學生養成以反思為核心的良好學習習慣并提高學習效率的有效途徑。

反思是發現問題與解決問題的手段，反思的程度以恰到好處地解決問題為標準，應選擇的具有一定價值的問題讓學生反思;數學反思能力的培養，要與數學思維、空間想象、原理應用、知識或情境遷移等解決數學問題的各種能力的培養結合起來;還要樹立整體教學觀，不僅從小處入手，還要從大處著眼。只有這樣，才能使學生（尤其是學習困難生）形成反思的習慣與能力，不斷提高數學素養。

參考文獻：

徐永忠.運用元認知理論，培養學生數學反思能力[J].中學數學研究，2004（10）.

注：本文系湖南省“十二五”一般資助規劃課題“普通高中學習困難生學校教育援助機制研究（XJL012BZXX002）”成果。

作者簡介：張家貴，中小學高級教師，郴州市教育突出貢獻獎獲得者。