多法并舉，破解二面角問題

福建 黃清波

高考中對二面角的要求是：掌握二面角及其平面角，掌握平面和平面所成的角.2019年全國各省市8份理科卷中有6份卷考查二面角相關知識，二面角求解的問題幾乎是高考解答題中的必考題，是高考備考的一個重點也是難點，考查考生邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養，對考生知識以及思維能力要求較高.本文以2019年高考數學全國卷Ⅰ理科第18題第(Ⅱ)問為例，從多個視角去考量二面角的求解策略，希望讀者從中受到啟發，選擇適合自己的方法.

題目：如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,AB=2,∠BAD=60°，E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.

(Ⅰ)證明：MN∥平面C1DE；

(Ⅱ)求二面角A-MA1-N的正弦值.

分析：本題主要考查直線與直線、直線與平面和平面與平面的位置關系等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力；考查數形結合思想和化歸與轉化思想；考查邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養.本題難度適中.

策略一：幾何法

【分析】利用三垂線定理作出二面角的平面角，轉化為解三角形.

解法1:(Ⅰ)略.(Ⅱ)如圖，取AB的中點F,連接DF.

因為四邊形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，得DF⊥AB.

又因為A1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥DF,得到DF⊥平面A1ABB1,延長直線AB與直線A1M相交于點G，過點F作A1M的垂線，垂足為H,連接DH.

所以DF⊥A1H,FH⊥A1H,得到A1H⊥平面DFH,得A1H⊥DH,所以∠DHF是二面角A-MA1-N的平面角.

【歸納】此法是以邏輯推理作為工具解決問題，解題過程中經常要引入輔助線和回憶大量的幾何定理公理，對學生的空間想象能力和邏輯推理能力要求較高，在教學過程中，應引導學生優先考慮用幾何法解題，會動手操作、嘗試著去處理圖形，即對圖形進行分割、補全、折疊、展開或添加輔助線等，借此不斷提高自己的空間想象能力.另一方面，讓學生熟練掌握初中和高中幾何定理公理的運用.

(Ⅰ)求證：CD⊥平面PAD；

(Ⅱ)求二面角F-AE-P的余弦值；

解：(Ⅰ)證明略.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，CD⊥AE,在△PAD中，PA=AD，E為PD的中點，所以PD⊥AE.

所以AE⊥平面PCD，所以FE⊥AE.

即∠FEP為二面角F-AE-P的平面角.

(Ⅲ)AG在平面AEF內，理由略.

策略二：坐標法

【分析】利用坐標法，建立空間直角坐標系求解.

解法2：由已知可得DE⊥DA.

設n1=(x1,y1,z1)為平面A1MA的法向量，

設n2=(x2,y2,z2)為平面A1MN的法向量,

取x2=2，得n2=(2,0,-1).

【歸納】坐標法主要是利用向量的相關知識及其運算來解決問題，即用代數的方法解決幾何問題，將數與形完美地結合起來，降低了立體幾何的思維難度，解題有一定的規律性，便于學生掌握.其步驟：①建系；②找點的坐標；③寫出向量坐標；④結合公式進行論證和計算；⑤下結論.不規則坐標系的建立較為靈活，但還是有“法”可依，平時教學過程中，應加強建立不規則坐標系的訓練，幫助學生消除一定的心理障礙.另外，建立不規則坐標系后，通常會增加某些點坐標表示的難度，除了作“射影”來求，大多是通過“算”來表示.同時，還應加強表示動點坐標的訓練，如引進參數來表示.當然運用此法，如果不能明確法向量的指向，學生有時很難直觀判斷兩個法向量所成的角是二面角還是二面角的補角，比如2019年高考數學全國卷Ⅱ理科第17題.可參考法向量方向的判斷方法：

已知二面角α-l-β的大小為θ，向量n1,n2分別為半平面α,β的法向量，若法向量n1,n2都指向二面角的內部(或外部)，則θ=π-;若法向量n1,n2一個指向二面角的內部，另一個外部，則θ=.

【變式】(2019·全國卷Ⅱ理·17)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(Ⅰ)證明：BE⊥平面EB1C1；

(Ⅱ)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.

解：(Ⅰ)證明略.(Ⅱ)由(Ⅰ)知∠BEB1=90°,

由題設知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°,

故AE=AB，AA1=2AB.

則C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),

設n1=(x1,y1,z1)為平面EBC的法向量,

取y1=1，得n1=(0,1,1)，

設n2=(x2,y2,z2)為平面ECC1的法向量,

取x2=1，得n2=(1,1,0)，

策略三：基底法

解法3：由已知可得AM⊥A1M.

在△A1DM中，過點N作NG⊥A1M，垂足G，如圖

設二面角A-MA1-N的大小為θ.

【歸納】基底法是指非坐標向量法，關鍵在于找對基底，必須具備：①三個向量不共面；②三個向量的模已知；③三個向量兩兩夾角已知.其法較之坐標法，有不需要建系、運算簡捷、可操作性強且更能體現向量的魅力等優點.但就學生而言，由于向量運算畢竟屬于一種新的運算體系，形式化要求高，總感覺運用時不習慣、不順手.在教學過程中，應幫助學生突破過高形式化帶來的困難，從而讓學生充分感受向量法的優美和力量.

【變式】(2016·全國卷Ⅰ理·18)如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.

(Ⅰ)證明:平面ABEF⊥平面EFDC；

(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.

解：(Ⅰ)證明略.(Ⅱ)由(Ⅰ)知∠DFE=∠CEF=60°，

因為AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，

所以AB∥平面EFDC，又AB?平面ABCD.

又平面ABCD∩平面EFDC=CD,

所以AB∥CD，所以CD∥EF.

所以四邊形EFDC為等腰梯形.

設AB=2,在Rt△BCE中，過點E作EM⊥BC，垂足為M，

在△ABC中，過點A作AN⊥BC，垂足為N，

設二面角E-BC-A的大小為θ.

策略四：面積法

解法4：如圖，取AB的中點F,連接DF.

因為四邊形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，得DF⊥AB.

又A1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥DF,得DF⊥平面A1ABB1,

則△A1MD在平面A1ABB1的射影為△A1MF.

設二面角A-MA1-N的大小為θ,

【歸納】射影面積公式法適用于斜面和射影面的面積易求的立體幾何題中，可省去作、證二面角的平面角的過程.

【變式】正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是1，M是棱CC1的中點，求截面A1BM與底面ABC所成銳角二面角的大小.

解：由正三棱柱的條件，可知△ABC是△A1BM在底面內的射影.

策略五：四角公式法(適合小題)

【分析】利用四角公式法，如圖，設二面角P-AE-F的平面角為θ，

∠PAE=θ1(線棱角)，∠FAE=θ2(線棱角)，∠PAF=θ3(線線角)，

解法5：如圖，設二面角A-MA1-N的大小為θ,

∠AA1M=θ1，∠DA1M=θ2，∠AA1D=θ3，

【歸納】利用四角公式求二面角：關鍵是確定棱上某點作為三個角θ1,θ2,θ3的頂點，找出兩個線棱角及一個線線角.最后歸結為解三角形，簡化了找二面角的麻煩，適合求一般二面角.

(Ⅰ)證明：DC1⊥BC;

(Ⅱ)證明：求二面角A1-BD-C1的大小.

解：(Ⅰ)證明略.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知DC1⊥BC，又CC1⊥BC,所以BC⊥平面ACC1A1,所以BC⊥AC.

依題意設AC=BC=1，則AA1=2，以棱BD上的點D為三個角的頂點，