探究函數最值問題求解之思維痛點

浙江 余繼光

診斷函數最值問題中的思維痛點癥狀——定義域變動引起思維之痛、復合結構引起思維之痛和分類標準難定引起思維之痛等.探究其產生的根源——代數式結構的轉化能力不強、求函數最值的基本方法不熟和綜合結構分解的基本思想不牢.給出解除痛點的方法——識類型找準方法、定標準科學分類和善轉化變形到位.通過積累解除痛點的經驗，提升函數最值問題求解的成功率.

函數的最值問題依賴于函數的定義域與對應法則，一旦涉及參數，變動的定義域與復雜的對應法則導致函數的最值求解時產生思維痛點，而函數的最值問題在高考數學命題中永不消逝.

一、思維痛點的主要癥狀

1.定義域變動引起的思維之痛

現象：忽略函數定義域而導致出錯.

解讀：

(1)此題重點不是數列概念而是函數概念，特別是函數的定義域意識，許多學生忽略了函數定義域而導致出錯；

2.復合結構引起的思維之痛

問題2：函數f(x)=-x2+3x+a，g(x)=2x-x2，若f(g(x))≥0對?x∈[0,1]恒成立，則a的取值范圍是________.

現象：復合函數結構轉化后，不等式恒成立轉化不到位.

分析：a≥g2(x)-3g(x)，對?x∈[0,1]恒成立，

設F(x)=y2(x)-3g(x)，則上式轉化為

求F(x)=g2(x)-3g(x)，x∈[0,1]時最大值，

g′(x)=2xln2-2x,x∈[0,1],

因為g′(0)>0,g′(1)<0,所以?x0∈[0,1]，使g′(x0)=0,

所以g(x)∈[1,g(x0)],所以F(x)在[1,g(x0)]上單調遞減.

所以F(x)max=F(1)=-2，所以a≥-2.

解讀：

(1)根據函數的復合結構轉化為一個不等式恒成立問題，然后變參分離轉化為二次函數結構的最值問題，定義域的判斷是解題的關鍵；

(2)在函數最值研究中，定義域意識非常重要，因為根據函數的三要素，函數的值域或最值依賴于函數的定義域與對應法則，雖然此問題的對應法則為復合結構，但內外層函數均為具體函數，不構成難點，而函數定義域明確給出限制，必須考慮由于定義域限制而導致函數g(x)值域的限制，從而導致F(x)定義域的變化.

3.分類標準引起的思維之痛

現象：如何分類建立|AB|的函數沒有思路.

分析：當x>0時，

(1)當a>4時，直線y=4與函數f(x)的圖象沒有交點；

(2)當a=4或a=0時，直線y=4與函數f(x)的圖象只有一個交點；

(3)當0

所以g(a)=|xA-xB|=4，故g(a)的最大值為4.

解讀：

(1)從函數結構上看，f(x)與對勾函數相關，但由于含參函數的本質發生了變化，能從結構上看出，當a<0時，f(x)就不是對勾函數了；

(2)此函數含有絕對值與參數，都是引起分類討論的刺激信號，分類標準的確定是一個難點，此處抓住“直線y=4與函數f(x)的圖象交點個數”進行分類，看準問題的關鍵點；

(3)此題g(a)的最大值并不完全是找到此函數后再求最值，而是根據g(a)的幾何意義，在分類討論中確定.

4.無理函數引起的思維之痛

問題4：N是等腰直角△ABC所在平面上一點，且點N與點A分別位于直線BC的兩側，如圖，若BN=4，CN=2，求四邊形ABNC面積的最大值.

現象：選擇變量建立關于面積的函數時思維受阻，建立關于面積的函數后，面對無理函數，如何求其最值思維也受阻.

分析：在△ABC中，設BC=a,AC=b,則a2=2b2，為了建立關于△BCN面積的函數，需要：

=5+4(sinθ—cosθ)(變換化簡函數)

解讀：

(1)此題第一步是建立面積函數模型，要選擇變量，因為△ABC是等腰直角三角形，邊之間有數量關系a2=2b2，而△BCN已知兩邊，必須找到夾角與此變量間的關系，于是用到余弦定理；

5.周期函數引起的思維之痛

問題5：已知函數f(x)對任意實數x均有f(x)=kf(x+2)，其中常數k為負數，且f(x)在區間[0,2]上有表達式f(x)=x(x-2).

(Ⅰ)求k的值并判斷f(x)的周期性；

(Ⅱ)寫出f(x)在[-3,3]上的表達式，并討論函數f(x)在[-3,3]上的單調性；

(Ⅲ)求出f(x)在[-3,3]上的最小值與最大值.

現象：如何確定k的值思維受阻，對函數周期性的分析思維受阻.

分析：(Ⅰ)因為f(x)=kf(x+2),所以f(x+2)=kf(x+4)，所以f(x)=k2f(x+4)，

所以k2=1，又k<0，所以k=-1，所以f(x)=-f(x+2)=-[-f(x+4)]=f(x+4)，

從而函數f(x)是周期為4的周期函數.

所以f(x)在[-3,3]上的單調增區間為[-3,-1],[1,3]，單調減區間為[-1,1];

(Ⅲ)f(x)在[-3,3]上的最小值為-1，此時x=-3或x=1;最大值為1，此時x=-1或x=3.

解讀：

(1)此題確定k值的思維方法是難點，很重要也非常經典，值得學生學習借鑒；

(2)由k值的確定，然后判斷函數的周期性是常規思路；

(3)當函數解析式與單調性都比較明確后，確定函數的最值就顯得簡單多了.

6.含參函數引起的思維之痛

現象：分類出錯，討論不到位，二次函數最值與對稱軸之間關系把握不到位.

解讀：

(1)此題為文科高考數學題,對二次含參函數求最值是一個經典思維過程，抓住二次函數對稱軸進行分類是一個基本的思路；

(2)通過函數圖象的分類表示，學生可以較清晰的理解“拋物線弧”的分類與最值的關系；

(3)一個動拋物線在定區間上的最值，一般是一個分段函數，最后結論表達要規范完整.

二、思維痛點的產生之源

1.代數式結構的轉化能力不強

函數對應法則的信息中，代數式是基本的，因此代數式結構特征的判斷或轉化成為函數最值的“第一殺手”，然而，學生由于代數式結構轉化能力不強導致求解失敗或受阻.

2.求函數最值的基本方法不熟

求函數最值問題的基本方法很多，不同類型的函數要用不同的方法處理，由于學生掌握的函數最值的求解基本方法不足或運用不熟，從而找不到問題求解的基本思路.

3.綜合結構分解的基本思想不牢

解決函數最值問題的基本思想方法——判斷函數最值的類型+轉化技巧+變形能力+分類和運算能力，是問題突破的基本途徑.沒有在腦海中建立起這些基本思想方法，就無法解決此類問題，痛點自然產生.

三、思維痛點的解除之法

1.識類型找準方法

函數最值問題的類型比較多，每一個類型都有其特點，解決此類最值相應的方法要熟悉，不能用錯.比如，判別式法求某一類二次函數的最值時，使用限制條件很關鍵，否則就要出錯.

解法1：判別式法

首先，y≠1，y(x2-x+1)=x2-x+3，

即(y-1)x2-(y-1)x+y-3=0，

Δ=(y-1)2-4(y-1)(y-3)≥0，(y-1)(-3y+11)≥0.

解法2：對勾函數單調法

u+1≥1，1

2.定標準科學分類

問題3中分類標準的確定是一種智慧，在一個綜合數學題中，把握問題中的矛盾點是分類標準制定的基石.眾所周知，三個數比較大小判斷誰最大，兩兩比較后確定或尋找“橋”當媒介來比較，然后確定誰最大.

3.善轉化變形到位

復雜結構函數的最值，一般都要進行一些轉化，轉化的目的就是歸類，類型找準了，方法使用對了，函數的最值探求就解決了一半.

解法2簡潔，但配方過程技巧太高，這種配方技巧并非普通學生通過個人努力即可掌握，學生看到這樣的解答可能會有挫敗感：是不是我能力不夠(不會配方)，不能解這個問題呢？一個好的問題和解答，是可以幫助人改善自我的，是可以增加學生學習的樂趣和信心的.

通過把條件作一系列等價轉化，原問題被轉化為一個容易解決的熟悉問題，這時幾乎不需什么技巧和計算，就可以得到原問題的解答.

四、解除思維痛點積累經驗之旅

1.善于積累思維方法

善于不斷積累函數最值的各種分析方法，多角度變形，挖掘其特征，特別是各類可能情形的全面考慮，意在培養全面思考問題的素養，而不僅是線性思考某一個問題；對于函數最值問題，學會分解到基礎知識與基本方法層面，然后逐一解決，這也是在培養面對復雜問題時，認識問題本質，化整為零，個個擊破的素養.

2.及時解除思維痛點

及時解除解決有關函數最值問題中遇到的思維痛點，一方面積極地面對函數結構變形中的痛點，分析原因，找到產生痛點的根源；另一方面尋找解除痛點的思路與方法，這一過程本身也是積累在這一領域的求解經驗，從而駕馭此類問題的求解.

3.勤于總結思維經歷