聚焦核心素養，深度探究變式
——一類解析幾何面積最值問題的教學實錄及反思

廣東 駱妃景 潘敬貞

高三數學復習備課，肩負著回顧及梳理知識的來龍去脈、提高學生數學“四能”、發展學生數學素養水平等重任.怎樣才能實現高效備考、提高學生解題能力、培養學生數學素養是每位高三數學教師必須用心研究的課題，筆者在教學實踐中基于數學核心素養開展深度教學研究.實踐表明，“聚焦核心素養，開展深度教學”的教學模式對提高高三復習效益、提升學生的思維廣度和深度、促進學生數學核心素養的提升大有幫助.聚焦核心素養的深度教學是以學生為主體、以數學問題為核心、以變式探究為主線、由表及里、層層遞進、循序漸進地讓學生經歷問題的探究過程、拓寬思維寬度、體驗解題過程、積累解題經驗，最終掌握解決問題的通性通法.本文以“一類解析幾何面積最值問題的教學”為例，從一條直線與橢圓的交點與坐標原點的連線圍成的三角形面積基礎題出發，開展深度變式探究教學.現將課堂教學實錄及其反思整理如下，以期達到拋磚引玉之效.

一、教學實錄

1.基礎問題驅動，理清基本思路

(學生思考，展示解法)

師：很好，這位同學的解題視角是直接根據三角形的面積公式，選擇邊AB為底，利用弦長公式及韋達定理求出AB的長度，利用點到直線的距離公式求出AB邊上的高，從而根據三角形的面積公式求出△AOB的面積.其他同學有不同的解法嗎？

生2：我的思路與生1的思路大致一樣，但我是先解方程求出A，B兩點的直角坐標，再利用兩點間的距離公式求出AB的長度，這樣解計算量很大.

師：嗯嗯，直線方程與曲線方程聯立消元后得到的一元二次方程容易解，求兩點的坐標也不失為好選擇，所以我們解題時要善于選擇合適的方法，方可優化運算，簡化解題過程，提高解題效率.

生3：根據之前的經驗，因為AB過x軸上的定點，所以我利用分割法求△AOB的面積，也就是將△AOB分割為以OF2為同底的兩個三角形(△AOF2與△BOF2).

【設計意圖】以一個相對基礎而又重要的問題為切入，學生自己動手解答，既能快速有效地吸引學生的注意力，進行問題的思考與解答，探究解法，優化運算過程與解答過程，培養學生的數學邏輯推理、數學運算等核心素養，又能引導學生回顧求解直線與圓錐曲線相交弦與已知點圍成的三角形面積問題的常用方法，內化數形結合、函數與方程等數學思想方法，提升對問題的整體把握能力，為后面開展深度探究活動提供了良好的素材和鋪墊.

2.聚焦核心素養，深度變式探究

師：能否適當改變問題1的條件，并得到相應的結論呢？請大家思考，小組合作討論，自己動手變式.(通過小組討論，教學巡堂引導，給出以下變式)

生4：因為已知直線l過F1，所以只需求出直線l的斜率就能利用點斜式得到其方程.根據問題1的解題經驗，利用分割法求△ABF2的面積.

則Δ=72k4-4(1+3k2)(6k2-3)=12k2+12>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

整理得k2=1，即k=±1，

師：非常棒，這位同學在設直線的點斜式方程時很細心，先考慮直線斜率不存在的情況，這是很多同學容易遺漏的，生4邏輯非常嚴謹，思維很縝密！還有其他解法嗎？

則Δ=8m2-4(3+m2)(-1)=12m2+12>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

師：哇，非常好，學以致用，用分割法求面積，并反設直線方程簡化解答過程，大大減少了運算量，有效回避討論直線的斜率是否存在，這是我們必須要熟練掌握的方法，生5非常善于靈活運用學習經驗，選擇最優化的解題思路，值得我們為他點贊！

【設計意圖】引導學生回顧求過x軸上的定點的直線方程的兩種常用方法，深刻體會兩種方法的優劣，培養學生優化運算的意識，促進學生數學運算核心素養的提升，并為下面更一般化的變式的簡潔解答作鋪墊.

變式探究2：去掉問題1中“斜率為1”這一條件，求△AOB面積的最大值，并求出此時直線l的方程.

則Δ=8m2-4(3+m2)(-1)=12m2+12>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

我算到這里就被卡住了.

師：本題涉及的知識點多，綜合性強，運算量大，能做到這里已經很棒了，解答的思路清晰明了，能圍繞目標合理轉化，反設直線方程，有效地優化運算過程，利用分割法將三角形的面積構造成自變量為m的函數，然后接下來再想辦法求S(m)的最值，此為解決該類問題的通性通法.那接下來怎樣求S(m)的最大值呢？哪位同學來挑戰一下？

師：很好，非常棒！換元法是一種非常重要的方法，換元法有效地將復雜的問題轉化為熟悉且簡單的問題進行解決，生7的解法就這樣，很巧妙地將問題解決了，大家可以學習借鑒.

(過了7分鐘，學生8上臺展示)

生8：因為直線l過x軸上的定點且斜率顯然不為0，故設直線l的方程為x=my+c，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

根據上題的經驗，用分割法求△AOB的面積，

即m=0，直線l的方程為x=c.

師：真的太棒了！經歷了前面問題的學習，相信大家也積累了一些學習經驗，解決本題的思路雖然已清晰，但完整解決本道試題需要很強的運算求解、推理論證等數學綜合能力.生8完成得非常漂亮，解答過程思路清晰，推理過程思維嚴謹，數學符號運算能力更是棒，展現出了該同學具有較高水平的數學素養，大家為他的優秀表現鼓掌(此時教室響起了熱烈的掌聲).

師：此時我想再提個問題，變式探究3的條件不變，請問△ABF1面積的最大值又是多少？它與△AOB面積的最大值有什么關系呢？大家思考一下，想好就直接說說自己的想法.

師：非常漂亮，利用分割法將△ABF1的面積分割成△AF1F2與△BF1F2的面積之和，很快就得出結論.因此，大家在解決問題時要善于觀察、分析尋找聯系，將問題轉化為基本問題解決.

師：本題與變式探究3有很多相似之處，解答思路也基本相同，但解答過程顯然更加復雜，對數學綜合能力的要求也更高.但生10依然完成得非常漂亮，大家為他鼓掌(此時教室響起了熱烈的掌聲).此時我們就完成了有關直線與橢圓相交的交點及某個特殊點的連線所圍成三角形面積的求解的探究過程，相信大家也掌握了該類問題的求解策略，但需要大家進一步的探索與實踐.

【設計意圖】引導學生深入思考，親身經歷對問題的自主探究與拓展，合作交流，積極參與數學運算，數據處理和變形，優化技巧，總結歸納有關此類面積最值問題的一般策略，根據條件，建構合理的函數模型，表示出三角形面積的函數解析式，然后結合已知條件利用不等式或者函數單調性求最值，抽象出一般性結論，讓學生體會數學的魅力與張力，培養學生的邏輯推理、數學抽象、數學建模、數據處理、數學運算的學科素養，培養學生的理性精神.

為了讓學生多題歸一，進一步鞏固上述研究方法和解題策略，將變式問題延伸到求兩條直線與橢圓相交的四個交點所圍成的四邊形面積，教師給出了變式探究5.

變式探究5：(2008·全國卷Ⅱ理·21)設橢圓中心在坐標原點，A(2，0)，B(0，1)是它的兩個頂點，直線y=kx(k>0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E，F兩點.

(Ⅱ)求四邊形AEBF面積的最大值.

師：有關四邊形面積最值問題，通常利用分割法轉化為三角形面積最值問題，如果四邊形的對角線相互垂直，其面積為兩條對角線長度的積的一半，然后將面積最值問題轉化為距離最值問題.本題給我們的啟示是：解決一個復雜的問題可以通過合理的轉化為一個基本的問題.所以說，問題間是相互聯系的，大家在審題時要善于抽絲剝繭，發現題目中的“蛛絲馬跡”，然后將其聯系起來作為解題的線索，最后將問題轉化為基本問題加以解決.

【設計意圖】讓學生感受學習數學的快樂，體會數學問題之間盤根錯節的關系，加強知識橫向聯系，把散落的考題連成線、鋪成面、織成網，凸顯問題本質，呈現題型規律，讓學生在不斷的“變”中深刻理解“不變”的本質，進一步提高發現問題與解決問題的能力.

3.高考鏈接，鞏固提升

請大家選做課后四道高考真題，鞏固提升：

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當△OPQ的面積最大時，求l的方程.

2.(2014·全國卷Ⅰ文·20)已知點P(2，2)，圓C:x2+y2-8y=0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點.

(Ⅰ)求M的軌跡方程；

(Ⅱ)當|OP|=|OM|時，求l的方程及△POM的面積.

【答案】(Ⅰ)(x-1)2+(y-3)2=2.

(Ⅰ)求M的方程；

(Ⅱ)C，D為M上兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值.

4.(2016·全國卷Ⅰ理·20)設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

(Ⅰ)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

(Ⅱ)設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

【設計意圖】高考題是專家的智慧結晶，高考題不僅有很好的選拔功能，同時也是教與學的好素材.因此應基于真題，因材施教，彈性作業，鞏固所學，增強學習數學的信心，培養學生的數學能力，發展學生的數學核心素養水平.

二、教學反思

圓錐曲線中有關面積問題是以直線與圓錐曲線相交為背景，以交點與特殊點的連線所圍成幾何圖形面積為研究對象.通過推理變形后提出有意義的問題.通過對問題的解答考查學生數學運算、邏輯推理等數學核心素養，考查運算求解、抽象概括等能力，考查學生化歸與轉化思想、函數與方程思想、分類與整合思想、數形結合等數學思想方法.此類題的求解對學生的能力要求比較高，考查學生綜合運用數學知識解決問題的能力.因此圓錐曲線解答題的求解成為了眾多學生望而卻步的考題.不少學生面對圓錐曲線解答題的解答有一定的恐懼心理，乃至直接放棄解答.因此在復習備考中要聚焦核心素養，開展深度教學，以學生為主體，以數學問題為核心，以變式探究為主線，由表及里，層層遞進，循序漸進地讓學生掌握解決問題的通性通法.在復習解析幾何時要特別注重引導學生理解解析幾何的基本思想(坐標法)，要求學生必須有畫圖、析圖、用圖的意識和習慣，只有借助圖形，才能正確分析問題，尋找思路，解決問題.重視對數學思想和方法的歸納提煉，達到優化解題思維，簡化解題過程的目的.

本節課以“與過橢圓焦點的直線與原點圍成的三角形面積問題”為核心問題，由淺入深，不斷在學生最近發展區進行辨識探究，使學生能夠“跳一跳，夠得著”，讓課堂在學生自主探究、小組合作中迸發思維的火花，促進數學核心素養的發展.深度變式探究，盡管問題在變，探究的角度在變，但問題的本質不變，解題方法不變.

深度變式探究問題要具有延展性.本節課不斷地在變式中尋求不變點，讓學生認清問題的核心，掌握解題方法.從過橢圓焦點的定直線與原點圍成的三角形面積引入，題目簡單，方法易選擇，運算注技巧，細節要完善.將問題延展到過橢圓焦點的動直線與原點圍成的三角形面積最值，由特殊到一般，與定橢圓相交的任意直線與原點圍成的三角形面積最值，步步展開，讓學生在“變”中掌握“不變”的解題方法，發展學生的數學運算、邏輯推理、數學抽象核心素養.最后利用高考真題探究，讓學生把解決問題的方法遷移到兩條直線與橢圓相交所圍成四邊形的面積，形成相關系列問題，將考題有序地串聯起來，這樣的變式延展，能引導學生學習在變化中抓住不變量，“以不變應萬變”.在學習過程中讓學生體會數學的魅力與張力，培養學生的理性精神.