核心素養視域下的高三數學微專題教學的實踐與思考
——以“求圓錐曲線的離心率范圍問題”教學為例

江蘇 張改霞 張啟兆

高三數學復習課質量的高低直接影響學生對數學知識與方法的深入理解、思維能力的提升及良好數學素養的形成.近年來，微專題復習課正成為大家廣泛認同的一種有效的課型.所謂“微專題”，是指立足于具體的學情、教情和考情，選擇一些切入點小、角度新、針對性強的“微型”復習專題，力求解決復習中的真問題和實問題.求圓錐曲線的離心率范圍問題是近年高考的一個熱點，但是由于這類題型條件隱晦，涉及面廣泛，不少同學面對這類問題時往往不知從何入手.本文結合“求圓錐曲線的離心率范圍問題”談談對“微專題”復習的一些思考.

1.認知的基礎性——通過知識網絡的梳理，構建起解決某一類問題較為清晰的“路線圖”

微專題復習課要幫助學生梳理本專題所涉及的知識與方法，從而讓學生充分感悟不同問題之間的聯系，進而形成對一類問題更為系統、全面的認識，為學生在頭腦中構建起解決某一類問題較為清晰的“路線圖”做好準備.以本專題為例，筆者設計了以下教學環節幫助學生梳理認知結構中已有的、但相對“零散”的求圓錐曲線離心率的范圍問題的知識和方法.

環節1 問題回顧

【設計意圖】由課本的習題出發，回顧求解圓錐曲線離心率的范圍問題的關鍵是尋找a，b，c之間的不等關系，基本方法是從幾何特征的角度出發尋找不等關系，或結合題目條件尋找不等關系，同時讓學生體會數形結合思想在解決這類問題中的作用.

環節2 學生感悟

問題(1)：圓錐曲線離心率怎樣計算？

問題(2)：通過對圓錐曲線離心率計算公式的研究，發現求解圓錐曲線離心率的范圍問題的關鍵是什么？(尋找a，b，c之間的不等關系)

問題(5)：從哪些方面尋找a，b，c之間的不等關系？(從題意出發、從圓錐曲線的定義出發、從幾何特征的角度出發、從橢圓和雙曲線自身性質出發，如利用焦半徑的范圍)

【設計意圖】引導學生用數形結合思想重新審視求解圓錐曲線離心率的范圍問題的過程，為學生自主生成求解圓錐曲線離心率范圍的方法做準備.

2.選題的針對性——以高考熱點、難點、疑點為主要對象

求圓錐曲線離心率的范圍這類試題綜合性較強，靈活多變，能有效地考查考生的數學核心素養.在實際復習中，學生對于求解函數的取值范圍的本身就感到困難，再放到圖形中，結合“形”來考慮，更是提高了對能力要求的考查.基于高考的考點要求與學生思維能力的現狀，選擇以“求圓錐曲線的離心率范圍問題”為研究對象.

在此類問題中，與焦點三角形有關的問題是各類考試的熱點，經久不衰，題型靈活多樣.

【設計意圖】從數學內部的問題情境引入，利用學生熟悉的焦半徑的性質建立不等關系，彰顯了解決這類問題的核心數學思想方法——數形結合，訓練邏輯推理、直觀想象等核心素養，為后續學習提供解題方法.

【解題思路】遇到焦點三角形問題，以“形”入手，從幾何特征的角度出發，利用焦半徑的性質建立不等關系.

方法1：利用焦半徑的性質建立不等關系

由雙曲線的性質知，|PF2|≥c-a(當且僅當P為雙曲線右頂點時取等號)，

方法2：利用三角形中任意兩邊之和大于第三邊建立不等關系

【基本想法】(1)由雙曲線上某一點引出的兩條焦半徑滿足的數量關系問題，這類問題的離心率的最值往往是當該點位于雙曲線的某頂點時取到；

(2)遇到雙曲線的焦點三角形，且已知兩條焦半徑的數量關系時，運用雙曲線的焦半徑范圍的限制求解，即利用雙曲線焦半徑PF≥c-a(點P與F在虛軸的同一側時)或PF≥a+c(點P與F分別在虛軸的兩側時)建立不等關系.

【評注】(1)方法1中消去PF1，當然也可以選擇消去PF2，并利用PF1≥a+c建立不等關系.那么，此種利用焦半徑的性質解題的思路是否適用于橢圓呢？

(2)方法2通過利用三角形中任意兩邊之和大于第三邊建立不等關系，這個解題思路是否適用于橢圓呢？

通過問題情境引出研究對象，這個問題切入口小，僅限于與焦點三角形有關的最值，但卻是高考的熱點問題，解決好這類問題的關鍵是利用好焦半徑的幾何性質.

3.方法的明確性——以提煉數學思想方法為主要目標

微專題復習課的重點應放在讓學生生成解決本專題問題的基本“路線圖”及滲透專題所反映一般數學思想方法上，而不只是關注單個題目的具體解法.要防止復習的“碎片化”，避免“就題論題”.將專題教學異化為同類題的綜合訓練，起不到專題復習的效果.

【設計意圖】將學生置于新的問題情境中解決問題，以實現知識的遷移.多題一解，做一題，學一法，會一類，通一片.

【解題思路】這是一道與例1同一思路的題目，只是建立在不同的圓錐曲線背景下，利用橢圓焦半徑|PF2|∈[a-c，a+c]建立不等關系，學生能輕易寫出解法.

【評注】本題中也可用|PF1|∈[a-c，a+c]，本質相同.

【基本想法】(1)遇到橢圓的焦點三角形，且已知兩條焦半徑的數量關系時，運用橢圓的焦半徑范圍的限制求解，即利用橢圓的焦半徑|PF|∈[a-c，a+c]建立不等關系；

(2)由圓錐曲線上某一點P引出的兩條焦半徑滿足的數量關系問題，這類問題的離心率的最值往往是當該點位于圓錐曲線的某頂點時取到；

(3)例1的方法1利用焦半徑的性質解題的思路適用于橢圓，例1的方法2利用“三角形中任意兩邊之和大于第三邊”建立不等關系的解題思路不適用于橢圓，因為在橢圓中，a>c恒成立，所以2a>2c恒成立，即|PF1|+|PF2|≥|F1F2|恒成立.

【思考】對照以上兩題，運用類比推理的思想，是否可以將結論歸納推廣？

上述兩個結論只要分01兩種情況，利用方法1的思路容易證明，學生在解答此類問題的填空題時便可直接取相應的頂點算出離心率的最值，可有效地縮短解題時間，提高解題正確率.

【設計意圖】“為遷移而教”，塑造學生良好的認知結構.訓練邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養.

【設計意圖】已知兩條焦半徑的夾角時，以“數”入手，在焦點三角形中運用余弦定理、橢圓的定義，結合基本不等式尋找基本量的不等關系，訓練數形結合、直觀想象、相等與不等相互轉化的能力，以及分析問題、解決問題的能力.

【解題思路】畫出草圖(如圖)，利用余弦定理、橢圓的定義，結合基本不等式尋找基本量的不等關系.

由橢圓的定義知|PF1|+|PF2|=2a，設|F1F2|=2c(c>0)，

在△F1PF2中由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos120°=(2a)2-|PF1|·|PF2|，

【基本想法】已知兩條焦半徑的夾角時，在焦點三角形中運用余弦定理、橢圓的定義，結合基本不等式尋找基本量的不等關系.

4.辨析的功能性——以靈活運用，克服思維定式為主要作用

“微專題”研究到這里，學生基本能識別并解決一些有明顯特征的問題，但是要想將學生思維引向深處，達到增強思維靈活性的目的，還是不夠的，還要“趁熱打鐵”，做進一步研究.

【設計意圖】提升對知識和方法的理解，本題將圓隱藏在已知條件里，隱晦地考查與圓相關的知識點.解答這類問題時，需要我們分析和探索，挖掘出這些隱藏的圓(簡稱隱形圓)，再利用和圓有關的知識從幾何特征的角度出發尋找基本量的不等關系，訓練數形結合、直觀想象的能力，以及分析問題、解決問題的能力.

【基本想法】挖掘出隱藏的圓(簡稱隱形圓)，再利用和圓有關的知識從幾何特征的角度出發尋找基本量的不等關系，充分發揮圖形平面幾何性質在簡化運算中的作用.

【設計意圖】感知變化，選擇變量，運用函數和方程思想建立目標函數，轉化為求函數的值域(或最值)，并體會橢圓的對稱性和等價轉化思想在求解過程中的運用，訓練直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養.

【基本想法】建立目標函數e=f(α)，利用題中的條件不等式，轉化為求函數的值域(或最值).

【例4】(2018·北京卷理·第14題改編)設雙曲線C的中心為點O，若有且只有一對相交于點O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分別是這對直線與雙曲線C的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________.

【設計意圖】從幾何特性出發，尋找動點運動的臨界位置，體會極限思想和動靜轉化思想，體會一般問題特殊化、分類討論等思想，訓練數學抽象、數據分析和數學運算等核心素養.

【解題思路】設雙曲線的焦點在x軸上，如圖.由雙曲線的基本性質可知，直線A1B1和A2B2關于x軸對稱.分類討論：

(2)若直線A1B1和A2B2與x軸的夾角均為60°，則將會有兩對相交于點O、所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，不滿足題意.

【基本想法】特殊化，即結合題干中的幾何特性尋找動點運動的臨界位置，尋找不等關系.

5.教學思考

微專題復習已成為提高高三學生數學二輪復習效率的有效辦法.如何設計微專題，才能提高教學效益？筆者有如下幾點思考.

5.1重基礎，通本質，激活知識梳理

奧蘇貝爾認為：有意義學習的發生和保持的最有效策略，就是利用適當的引導性材料對當前所學新內容加以定向與引導，唯有如此才能確保新舊知識間建立實質性的、非人為的聯系，并把這種引導性材料稱之為“先行組織者”.這就提醒我們要千方百計地摸底調査學生已有的知識基礎，竭盡全力地弄清學生經歷過的數學活動經驗，并據此設計出學習新知識的引導性材料.

微專題教學的本質就是“為遷移而教”，為培育數學核心素養而教.“為遷移而教”的實質是塑造學生良好的認知結構.因此，微專題教學要重視學生原有的認知基礎，要從學生思維最近發展區出發設計問題，激活知識梳理，構建起解決某一類問題較為清晰的“路線圖”，這樣既順應了學生原有的認知基礎，又能逐步改變學生的認知圖式，從而使學生在新情境的問題解決過程中形成結構化的、具有高度認知靈活性的圖式.

5.2重過程，通思維，促進數學理解

核心素養是學生在學習過程中逐漸形成的正確價值觀、必備品質和關鍵能力，是知識、能力、思維、方法、情感和價值觀的有機統一，核心素養的培養和發展不是一蹴而就的，培養和發展學生核心素養，一定要關注教學過程，使教學過程成為培養和發展學生核心素養的有效載體.

微專題教學講究“限時講授、合作學習、踴躍展示”.微專題教學對學生的要求是：有效先學、獨立思考、適當合作、主動交流、大膽質疑、認真傾聽、善于歸納；對教師的要求是：內容科學、善于引導、充分激勵、語言精練、媒體適當.“微專題”教學中比較合適的教學過程是“小題引路，例題精講，變式鞏固”，即以小題帶動知識與方法的復習，即知識梳理，以典型例題闡述知識和方法的應用，輔之以變式串講，提升對知識和方法的理解，達到鞏固加深的目的.微專題教學目標的達成不是教師用簡單的方式直接灌輸給學生，而是讓學生在課堂上經歷解決問題的過程，通過師生、生生間的有效交流自主生成.微專題復習的導學案要留白，避免形成“全方位式”的導學案現象.變式教學的內容不適宜提前印在導學案上，而是在課堂上生成，利用多媒體即時呈現，這樣才能充分調動學生學習的熱情，激勵學生的探索精神，培養學生的創新意識，增強課堂生成的靈動性.

微專題“求圓錐曲線的離心率范圍問題”結合學生實際，精心設計問題串，在問題的提出-分析-辨析-解決-基本想法的形成過程中，提升了學生的思維能力.每個問題最后要引導學生反思，及時進行提煉概括，培養學生從圖形語言到數學語言再到符號語言的相互轉化能力，最后形成的“基本想法”是提升學生思維、培育核心素養的有效途徑，也是微專題能真正幫助學生突破難點的關鍵.

5.3重反思，通算理，培養運算能力

微專題復習常用“先解答后評講”的方式組織教學，既是根據高三教學特點，增加課堂容量，也是基于學情判斷，有針對性地教學.在組織講評式復習教學時要區別于一般的習題講評課，要調研學生完成學案的情況，并重點關注四個問題：一是學生做斷的問題：教師應詢問、了解學生為什么做不下去、卡売的原因是什么，思考解決的對策與方法；二是學生做錯的問題：讓學生自覺發現錯誤，并引導學生思考出錯的根源以及如何避免再犯錯誤，并設計補償性問題；三是學生做繁的問題：繁的背后是什么?通常是對知識、方法認識不全面，或是不能靈活選擇合理的方法，這時需設計最優的解題算法；四是學生做對的問題：要求學生能講清解題思路的生成過程，思考題目背后的道理，理清不同解法包含的數學思想和解題策略.調研的目的是為了深入了解學情，調整和優化課堂教學設計，既要針對學生的錯誤或易錯點重點講評，也要對重要知識處進行復習.復習知識，串講方法，將知識與方法織成網絡，提升學生綜合應用的能力.