遞推關系求數(shù)列通項公式的五種常見模型

蔡華遠 程玉林

【摘要】已知數(shù)列的遞推公式，求其通項公式是高考數(shù)列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個具體的題目，它的求解方法是靈活多變的，構造的技巧性也很強，但是此類題目也有很強的規(guī)律性，存在著解決問題的通法，本文就高考中常見的五類題型從解決通法上做一總結，方便于學生學習和老師的教學。

【關鍵詞】遞推關系?通項公式

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）30-233-01

類型一an+1=an+f（n） 型數(shù)列

【典型例題】1.已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，且an=an-1+n+3n（n≥2），求數(shù)列{an}的通項公式.

【詳解示范】解：由an-an-1=n+3n（n≥2），∴a2-a1=2+32，a3-a2=3+33，a4-a3=4+34，…，an-an-1=n+3n，以上（n-1）個等式左右兩邊分別相加，得an-a1=2+3+4+…+n+32+33+34+…3n= ?????+? ?????=? ????+? （3n-1-1）=? ??+ ?+ ?- ?（n≥2）

又∵ a1=1，∴an=???+ ?+ ?- ?（n≥2）

經驗證，當n=1時也符合上式，∴數(shù)列{an}的通項公式為an=???+ ?+ ?- ?.

【解后反思】形如an+1=an+f（n），將其轉化為an+1-an=f（n），這是廣義的等差數(shù)列，利用累加法求解，即利用恒等式an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）求通項公式。

【技能提升】已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，且an=an-1+

（n≥2），求數(shù)列{an}的通項公式。

類型二 an+1=an·f（n）型數(shù)列

【典型例題】2.在數(shù)列{an}滿足：a1=1，an=2nan-1（n≥2），求數(shù)列{an}的通項公式.

【詳解示范】 解：∵an=2nan-1（n≥2），∴ ??=2n（n≥2），∴? ??=2n-1， ??=2n-2，…，?=22，以上（n-1）個式子左右兩邊分別相乘，得 ?=2n·2n-1·2n-2……22=22+3+....+n=2

=2????，∴an=2????（n≥2）.

經驗證，當n=1時，a1=1也符合上式，∴數(shù)列{an}的通項公式為an=2 ???.

【解后反思】形如an+1=an·f（n），將其轉化為??=f（n），這是廣義的等比數(shù)列，利用累乘法求解，即利用恒等式an=a1·?·?……? ?求通項公式。

【技能提升】在數(shù)列{an}中，a1=1，an= ??·an-1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項公式。

類型三 an+1=ban+d型數(shù)列

【典型例題】3.已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，且2an+1=3an+5，求數(shù)列{an}的通項公式。

【詳解示范】解：∵2an+1=3an+5，∴2（an+1+5）=3（a+5）.由a1=1，且2an+1=3an+5，知an>0，∴an+5≠0，???= ?，

∴數(shù)列{an+5}是首項為6，公比為 ?的等比數(shù)列，

∴an+5=6·（ ?）n-1，

∴數(shù)列{an}的通項公式為an=6·（ ?）n-1-5.

【解后反思】形如an+1=ban+d﹙其中b，d為常數(shù)，b（b-1）≠0﹚的數(shù)列，常用構造法.其基本思路是：構造an+1+x=b（an+x）﹙其中x=??﹚，則{an+x}是公比為b的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質即可求出an.

【技能提升】在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=4an+9n-3，求數(shù)列{an}的通項公式。

類型四 an+1=pan+qn型數(shù)列

【典型例題】4.已知數(shù)列{an}滿足：a1=3，an+1=3an+2·3n+1求數(shù)列{an}的通項公式。

【詳解示范】解：將an+1=3an+2·3n+1兩邊同除以3n+1，得 ??=??+2，∴數(shù)列{?}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴? ?=1+（n-1）×2=2n-1，∴an=（2n-1）·3n.

【解后反思】形如an+1=pan+qn﹙其中p，q均為常數(shù)，且pq（p-1）（q-1）≠0﹚，一般在兩邊同除以qn+1，得? ??=?·?+? ，引入輔助數(shù)列{bn}﹙其中bn= ?﹚，得：bn+1=?bn+?，這樣就轉化為an+1=ban+d模型了。

【技能提升】在數(shù)列{an}中，a1=?，an+1=5an+3n，則數(shù)列{an}的通項公式。

類型五 an+1= ???型數(shù)列

【典型例題】5.已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，且an+1=

求數(shù)列{an}的通項公式。

【詳解示范】解：∵an+1= ??，a1=1，∴an≠0.

將an+1= ??兩邊取倒數(shù)，得? ?= ??，即? ?= ?+ ?，∴ {?}是以1為首項，

以? ?為公差的等差數(shù)列，

∴ ?=1+（n-1）·?=? ??，

∴an=???.

【解后反思】形如an+1=???﹙p，q，r是常數(shù)﹚的數(shù)列，將其變形為 ??= ?· ?+ ?.

若p=r，則{ ?}是等差數(shù)列，且公差為?，可用公式求通項;

若p≠r，則再采用an+1=ban+d模型求解.

【技能提升】已知數(shù)列{an}中，a1= ?，an+1=???，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項 an= ????.

結束語：本文選取了高考中常見的由遞推關系求數(shù)列通項公式的五種典型例題，并詳細總結出了每一種模型的解題套路，五類典型例題都各配備一道題型相似的技能提升訓練題。

期望通過本文的學習，學生們可以熟練掌握由遞推公式求數(shù)列通項公式的這五種常見模型，在考試中遇到這類題目時能夠利用模型規(guī)范化快速準確求解。

【參考文獻】

[1]劉毅然 路麗梅.提分寶典[M].上海交通大學出版社，2019（28）：32-33.