深度融合：基于GeoGebra的高中數學教學設計

【摘要】實現技術與數學的深度融合，離不開信息化教學環境的構造、新型教與學方式的實現和傳統課堂教學結構的變革。以學科教學軟件GeoGebra為例，將技術真正融入概念形成、規則演繹、活動探究、方法提煉等教學中，可以構建出完全不一樣的數學教與學的新形態。

【關鍵詞】教學設計;深度融合;教育技術;GeoGebra

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2020）59-0024-04

【作者簡介】張志勇，江蘇省常州市第五中學（江蘇常州，213001）教師，正高級教師，江蘇省教科研先進教師，江蘇省“333高層次人才培養工程”培養對象。

隨著知識革新及技術創新，以大數據、“互聯網+”為背景的教育新時代已經到來。對于數學教學而言，教育技術已成為一種不可或缺的工具，“重視信息技術運用，實現信息技術與數學課程的深度融合”是我們理應深入探究的課題。實現技術與數學的深度融合，離不開信息化教學環境的構造、新型教與學方式的實現和傳統課堂教學結構的變革。本文以GeoGebra為軟件平臺，就概念生成、規則演繹等內容談談如何將技術融入數學的教與學中，從而影響并推動著傳統課堂教學結構的變革和數學教學新形態的構建。

一、概念形成中的融合設計

概念是數學思維方式建構或轉變的基石，一個概念的背后往往蘊含著豐富的數學思想，分析、處理問題的策略與方法。因此，對于數學概念的學習，并不是僅僅能記住、說出它的定義，認識它的代表符號，而是要真正能夠把握它的本質屬性。概念教學中，要讓學生認識到學習新概念的必要性，同時凸顯概念的形成過程，讓學生在大量例證中歸納、概括、抽象出概念的關鍵屬性。

案例1：等比數列的概念教學。

等比數列教學可以從生活實例引入，并類比等差數列生成概念，通?？稍O計教學流程為“創設情境，提出問題→共性歸納，生成概念→自主探究，辨析概念→類比推理，拓展概念→問題驅動，應用概念”。融合視角下，在創設情境環節我們有更多的實例選擇，如謝爾賓斯基三角形迭代過程中每一層中點三角形的個數、邊長、周長、面積均呈等比數列（如下頁圖1，公比分別為3、1/2、3/2、1/4），選取這樣新穎有趣的事例更易于激發學生的探究興趣，事實上謝爾賓斯基三角形“周長無限面積趨于零”的特性也為后繼研究提供了很好的鋪墊。在辨析概念環節，如果僅僅從代數推演的角度解析等比數列的分類，往往很難讓學生見到全貌，而有了圖2所示的探索空間，當學生對等比數列的增減性、擺動性有了切身體會后，再從公比q的角度進行分類就水到渠成了，并且（指數）函數觀念也已蘊涵其中。

概念形成需要從大量的實例和學習者的實際經驗出發，以歸納的思維方式獲得概念。于是融入技術元素，設計適于概念形成的學習情境并留給學生自主活動的空間，當是教學設計中應該重點處理的環節。

二、規則演繹中的融合設計

數學學習離不開推理運算，而公式法則、定理命題是運算推理的重要根基，學生運算出錯、推理失敗多是因為公式、定理理解不全的緣故。在常規教學中，定理法則的教學采用更多的是“告訴演繹”思路，即展示規則（告訴）→推導驗證（演繹）→變式應用（操練）。技術融入后，可借助CAS系統（Computer Algebra System）增加“規則發現”環節，化單純的演繹為“歸納+演繹”，為我們的教學設計提供更多的選擇。

案例2：導數運算法則的“發現”教學。

以積的求導法則為例，在常規的教學流程中可增加下列環節：

（1）計算先行，感知規則。在GeoGebra的運算區中，先計算一些具體函數的導數，如y=x₂e_x、y=xsinx等，讓學生認識到積的導數應該是和的形式;

（2）歸納猜想，發現規則。進一步的，在運算區中進行實驗探究。如圖3，改變基本函數f（x）、g（x）的解析式，考察f（x）g（x）的導數的變化，從而明確和式的由來，得出結果“（f（x）·g（x））′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）”。

這樣的教學設計其實是借助技術的力量實現教學流程倒置，將原來的記憶操練變更為歸納發現（導數運算結果提前呈現給學生），在實現“向技術學數學”的同時，也創設了“再創造”數學的情境，讓學生有機會在經歷“觀察現象→歸納猜想→證明猜想→應用拓展”的過程中，實現更高抽象層次上的抽象探究。雖然完整的教學流程還需要有演繹推證規則、變式應用操作（在練習過程中可將紙筆運算結果與計算機計算結果進行比對驗證）環節，但有了技術的融入，我們在定理法則的教學中有了全新的設計選擇，完全可以做過去課堂中做不到的事情。事實上，技術本身也是數學，GeoGebra可以方便實現符號計算功能，能更好地與注重形式化、符號化的數學學科相匹配，滿足在計算機上推導數學公式的需求，如對表達式進行因式分解、化簡、微分、積分、解代數方程、求解常微分方程等;進而滿足學生在更高抽象層次上進行思考與探究，使形式化的符號也能成為學生高層次的數學認知基礎。

三、活動探究中的融合設計

只有經歷豐富的數學活動，數學學習才能積累足夠的原初經驗，于是應用現代技術的動態形象優勢，可以創設生動活潑、富有啟發性的情境，為學生理解概念創設背景，為學生探索規律啟發思路，為學生解決問題提供直觀呈現的方式，從而優化課堂教學，轉變教與學的方式。

案例3：圓錐曲線的包絡探究。

我們知道，圓錐曲線可以通過折紙的方式來呈現，但折紙操作過程費時費力，并且通過有限的幾條折痕“看出”輪廓（包絡線）也絕非易事，而這樣的麻煩事換到技術環境中則可以輕松解決，從而讓學生在數學活動中獲取圓錐曲線概念的原始經驗。如圖4，拖動滑動條n，隨著線段AC（C為圓B上的動點）的中垂線條數的增多，包絡的呈現越發清晰，圓錐曲線便呈現在學生眼前;拖動改變A、B的相對位置可發現更多的精彩，當A點從圓B外運動到圓B內時，包絡線由雙曲線變成了橢圓，這樣的動態變化過程恰好表明了圓錐曲線的內在統一性;從外在的包絡現象到內在的數學原理探尋，數學知識便找到了很好的落腳點。以雙曲線為例，取包絡上的任意一點P，IPA-PBI=IPC-PBI=BC（P為線段AC的垂直平分線上的點，從而PA=PC），從而P點的軌跡為以A、B為焦點的雙曲線。從發現包絡的“驚詫”、動態聯系的“美妙”到本質探尋的“原來如此”，數學學習的意義和價值在這樣的活動設計中得到很好的彰顯。

四、方法提煉中的融合設計

學數學就要解數學題，通過解題可以幫助學生深刻理解數學概念、掌握數學方法進而錘煉數學思維。從而數學教學的一個很重要的任務，就是教學生學習如何解數學題，教學生學會數學地思維。當然數學題目類型的千差萬別決定了解題方法的多樣性、復雜性，因此，探尋方法也就沒有固定的規律可循。應用技術創設探究情境，可以讓學生有機會嘗試從不同的角度探究問題的各個方面，在展示解題思路的探求過程中解構解題策略的形成，思考“怎樣學會解題”，在問題“源與流”的探尋中感悟“原來如此”的美妙。

案例4：導數零點問題探求。

零點問題是函數中的常見題型，應用零點存在定理證明零點存在的關鍵在于“找點”（即構造異號的函數值），如何“找點”成為教學的重點和難點。我們以簡單問題“已知關于x的方程m=lnx/x有兩解，求m的取值范圍?！睘槔?，設計探究流程如下：

（1）圖象輔助，分析趨勢。通過求導可以得

到f（x）=lnx/x的單調性（即在（0，e）上遞增、在（e，+∞）上遞減），繪制圖象（如圖5）則可以揭示漸近線的存在（x∈（e，+∞）時，隨著x的增大，函數f（x）的圖象始終在x軸上方且無限逼近x軸）;這樣結合圖象不難得出m∈（0，1/e）。

上述教學設計的實現離不開技術的融入，我們通過圖象趨勢觀察（取勢）、放縮本質思考（明道）達成優化解題方案（優術），事實上解題教學的價值和意義恰恰在于教會學生“怎樣應用數學方法”“如何發現數學結論”，而解題策略的獲取、解題觀點的提升、思維層次的優化自然是教學設計中的重要考量。

隨著教育信息化2.0時代的到來，數學教育由主要強調紙筆計算向充分使用現代教育技術轉變已經是歷史的必然。實現技術與數學教學的深度融合，要求我們在深入理解與掌握技術的基礎上實施能有效變革課堂教學結構的創新教學模式，要在構建互動交流的數學學習環境的同時促進學生數學思維的提升。