從習(xí)題走向問題

金妤茜

習(xí)題是鞏固知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要載體。若是將一道習(xí)題變?yōu)橐粋€(gè)好的問題，則可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探索、思考新問題，從而激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的想象力，促進(jìn)學(xué)生深度思考。本文以圓柱、圓錐的習(xí)題為例，變習(xí)題為問題，引導(dǎo)學(xué)生從平面圖形到立體圖形，感受平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系，并在操作想象中培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，在問題解決中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。筆者的思考源自蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)圓柱的體積和圓錐的體積兩道練習(xí)題（如下圖）。

前一題的編排意圖是：一是通過演示、操作和想象，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到圓柱可以看作一個(gè)長方形繞著它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周后得到的立體圖形;二是讓學(xué)生看圖說說題中的兩個(gè)圓柱的底面半徑和高各是多少;三是估計(jì)哪個(gè)圓柱體積大時(shí)，可以直接比較4×4×5與5×5×4的大小。后一題的編排意圖是：讓學(xué)生結(jié)合直觀圖說說旋轉(zhuǎn)成的圓錐的底面半徑和高各是多少，再分別計(jì)算兩個(gè)圓錐的體積，還可以引導(dǎo)學(xué)生比較發(fā)現(xiàn)，繞短直角邊旋轉(zhuǎn)一周后所形成的圓錐體積比較大。這兩題的題型類似，目標(biāo)相近，主要是幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐可由長方形或直角三角形旋轉(zhuǎn)而來，感受其旋轉(zhuǎn)體的特征，進(jìn)一步積累圖形與幾何的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)初步的比較、分析、綜合、抽象、概括以及簡(jiǎn)單的判斷、推理能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思考，增強(qiáng)空間觀念。教師可將這個(gè)知識(shí)點(diǎn)安排在不同練習(xí)課上作為習(xí)題呈現(xiàn)，教學(xué)時(shí)學(xué)生根據(jù)圖示計(jì)算出各自的體積并比較大小后，教師就一帶而過了。如此，學(xué)生對(duì)平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系感受明顯不夠，對(duì)旋轉(zhuǎn)體本質(zhì)的感悟也并不深刻。

聯(lián)系前后知識(shí)，筆者嘗試將兩道練習(xí)題轉(zhuǎn)化成具有一定開放性和綜合性的問題解決過程，主要設(shè)計(jì)了三個(gè)環(huán)節(jié)，并調(diào)整至圓柱、圓錐體積教學(xué)全部完成后再研究，課堂上給予學(xué)生充分的思考時(shí)間，讓學(xué)生在操作、想象中發(fā)展空間觀念，在問題解決中發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

一、夯實(shí)基礎(chǔ)，溝通知識(shí)聯(lián)系

師：這個(gè)單元我們主要認(rèn)識(shí)了圓柱和圓錐，從這兩個(gè)圖形里你能找到或想到哪些平面圖形？

（學(xué)生小組討論后匯報(bào)交流）

生：直接觀察得到平面圖形是圓。

生：將圓柱和圓錐切割后的截面是長方形（正方形）、三角形、圓。

生：將圓柱和圓錐側(cè)面展開得到長方形（正方形）、扇形。

（交流中學(xué)生適時(shí)復(fù)習(xí)圓柱、圓錐的特征和表面積、體積的計(jì)算方法）

【思考】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)空間觀念有這樣一處描述：“空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體?！北窘虒W(xué)環(huán)節(jié)教師鼓勵(lì)學(xué)生從立體圖形中尋找平面圖形，此時(shí)學(xué)生就會(huì)用觀察、展開、切割等方法，而這些方法除了需要?jiǎng)邮植僮?，更多的是想象，想象是發(fā)展學(xué)生空間觀念的最佳途徑。正是這樣一個(gè)充滿想象與挑戰(zhàn)的環(huán)節(jié)，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。整個(gè)教學(xué)過程學(xué)生不僅初步感知了平面圖形與立體圖形的聯(lián)系，也在交流中適時(shí)復(fù)習(xí)圓柱、圓錐的特征和表面積、體積的計(jì)算方法，為后續(xù)的研究夯實(shí)基礎(chǔ)。

二、建構(gòu)模型，發(fā)展空間觀念

（一）操作后想象

師：立體圖形中有著很多平面圖形的影子，那由一個(gè)平面圖形可以得到圓柱或圓錐嗎？

學(xué)生小組合作，借助平面圖形操作或直接想象，討論后匯報(bào)交流。

方法1：由平面圖形圍成。

小組1：（用長方形紙邊操作邊匯報(bào)）用一個(gè)長方形圍成一個(gè)圓柱，而且每個(gè)長方形圍成圓柱有兩種不同的圍法（如下圖）。

方法2：由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成。

小組2：用長方形繞著它的一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，可以繞著長旋轉(zhuǎn)，也可以繞著寬旋轉(zhuǎn)，得到兩個(gè)不同的圓柱。

全班想象后，課件動(dòng)態(tài)演示，如下圖。

小組3：我們想到的是直角三角形繞著它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)可以形成一個(gè)圓錐，因?yàn)橹苯侨切斡袃蓷l直角邊，所以可以形成兩個(gè)不同的圓錐。

全班想象后，課件動(dòng)態(tài)演示（圖略）。

（二）猜想后驗(yàn)證

師：同學(xué)們想到了用平面圖形圍或者旋轉(zhuǎn)來得到圓柱或圓錐，而同一個(gè)圖形圍或者旋轉(zhuǎn)都有兩種情況，對(duì)此有什么想法？

生：同一個(gè)圖形的兩種情況下的圓柱或圓錐的體積一樣嗎？

（學(xué)生猜想，產(chǎn)生分歧）

師：你們準(zhǔn)備怎么研究？

生：假設(shè)數(shù)據(jù)再計(jì)算。

學(xué)生分小組進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證并得出結(jié)論：（1）長方形以短邊為高圍成的圓柱體積比較大;（2）長方形繞著寬旋轉(zhuǎn)得到的圓柱體積比較大;（3）直角三角形繞著短直角邊旋轉(zhuǎn)得到的圓錐體積比較大。

（三）比較后思考

師：這3個(gè)結(jié)論有什么共同之處？

生：都是以短邊為高時(shí)，體積比較大。

師：為什么以短邊為高形成的圓柱（圓錐）體積比較大呢？

生：因?yàn)閳A柱和圓錐的體積計(jì)算公式都有πr2h，要想體積大，其中r起了更為重要的作用，短邊為高時(shí)，長的一邊就決定了r的大小，所以這個(gè)時(shí)候體積就會(huì)比較大。

【思考】在圖形的變換和運(yùn)用中，教師引導(dǎo)學(xué)生操作和想象，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力。教師讓學(xué)生思考如何從一個(gè)平面圖形變成一個(gè)立體圖形，不管是圍還是旋轉(zhuǎn)，都先讓學(xué)生試著想象圍或旋轉(zhuǎn)后的圖形的樣子，再借助課件動(dòng)態(tài)演示，經(jīng)歷由平面圖形旋轉(zhuǎn)形成立體圖形的探索全過程。然后學(xué)生提出問題：“同一個(gè)圖形圍或旋轉(zhuǎn)都有兩種情況，這兩種情況下的圓柱或圓錐的體積一樣嗎？”學(xué)生先直觀猜測(cè)，再計(jì)算比較并得出結(jié)論。教師再次追問：“旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形中，為什么以短邊為高形成的圓柱（圓錐）體積比較大呢？”這一追問進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生的思考，學(xué)生從計(jì)算公式上去解釋、去突破。整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)體現(xiàn)了“直觀感知—演繹推理—抽象和概括”的思維過程，這個(gè)過程中學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力不斷發(fā)展，幫助學(xué)生順利地建構(gòu)幾何圖形，在建構(gòu)圖形的過程中發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

三、遷移類比，發(fā)散數(shù)學(xué)思維

師：以這個(gè)直角三角形的斜邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)形成怎樣的立體圖形？這樣的立體圖形的體積你會(huì)計(jì)算嗎？如果是一個(gè)鈍角三角形呢？

（1）把你想到的圖形在作業(yè)紙上畫一畫。

（2）有困難的學(xué)生可以借助老師的學(xué)具轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，再來畫。

（3）嘗試計(jì)算它的體積。

【思考】教師提出“以這個(gè)直角三角形的斜邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)形成怎樣的立體圖形？”的拓展性問題，將本課的探究推向高潮，學(xué)生大膽地運(yùn)用自己的直覺和想象去體驗(yàn)、去猜測(cè)，運(yùn)用多種方法、通過多種途徑去尋求答案。學(xué)生基于新問題不斷探究，積極主動(dòng)地思考，不斷地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，思維能力得到了進(jìn)一步提升。

綜觀全課，在整個(gè)探究教學(xué)過程中，因?yàn)榱?xí)題的整合、變式和拓展，學(xué)生從中獲得的不僅僅是解答題目本身， 而且通過這道題展開了數(shù)學(xué)“悟”的過程，是一個(gè)主動(dòng)、深刻的學(xué)習(xí)過程。好的問題具有生長功能，教師應(yīng)基于教材，著眼學(xué)生發(fā)展，試著對(duì)教材習(xí)題做更深入的研究，將習(xí)題轉(zhuǎn)變?yōu)閱栴}，讓學(xué)生有所思、有所為、有所得。

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星港學(xué)校蘇安校區(qū)）