經歷探究過程，把握面積本質

蘭贈連

學過長方形的面積計算公式后，對于公式中的“長”“寬”分別表示什么的問題，有相當多的學生都只能寫出其表面看得見的長度數量，而想不到背后所隱含的與面積有關的實質意義。究其原因主要是教師教學中重結果輕過程。因此，在“長方形、正方形面積的計算”教學中，教師要突破現有教材內容的局限，選擇合適的學具，讓學生親自參與測量、畫圖、觀察、思考、表達等學習活動，進而真正理解面積計算公式。

面積的本質是什么？為什么面積的單位名稱要加“平方”兩字？“長方形、正方形面積的計算”教學僅僅讓學生記住其計算公式就可以嗎？要回答諸如此類問題，我們首先要了解“長方形、正方形面積的計算”的教學現狀。

一、忽視面積本質教學現狀一瞥

最近，筆者借助“停課不停學”期間建立班級學習群，對某校四年級某班學生進行關于長方形面積本質學習成效的網上調研。筆者要求學生計算長10厘米、寬6厘米的長方形的面積，并寫出算式中每個數表示的意義。該班參與答題的有42名學生，其中1名學生計算的是周長而不是面積，因而其對各數意義的表述也是錯的。41名學生計算長方形的面積及寫出算式中“60”的意義都是正確的，但是對算式中“10”“6”的意義卻只有4名學生寫對，另外37名學生都是將它們分別寫成表面上看得見的具體長度——“10厘米”“6厘米”（如圖1），沒有寫出背后所隱含的與面積有關的實質意義。究其原因，一方面可能與學生對知識的遺忘有關;另一方面更有可能與三年級下學期教師在教學“長方形面積的計算”時重結果輕過程有關。

在一次“送培下鄉”活動中，筆者執教了“長方形、正方形面積的計算”一課，突破現有教材內容的局限，選擇合適的學具，讓學生親自參與測量、畫圖、觀察、思考、表達等學習活動，經歷探究過程，把握面積本質，進而真正理解面積計算公式。下面筆者就結合這次教學實踐談談自己的做法和思考。

二、對教材內容的解析與思考

在教學人教版數學三年級下冊“長方形、正方形面積的計算”的例4時，教師安排了3個層次的內容：1.用畫格子或用1平方厘米的正方形測量長5厘米、寬3厘米的長方形的面積;2.用1平方厘米的正方形拼擺多個長方形，并用表格記錄長方形的長、寬和面積，據此發現長方形的面積與長和寬的關系，進而概括出長方形的面積公式;3.量出兩個長方形的長和寬，再計算面積。因第2個長方形的長與寬相等，根據正方形和長方形之間的關系，推導出正方形的面積公式。

首先，該例題只出現“平方厘米”這一種面積單位，沒有呈現學生已學過的所有面積單位。其次，在教學中教師如果讓學生完成例題中第1、2層次的測量、拼擺活動存在3個難點：一是學具備齊難。所有的文具店都沒有1平方厘米大小的正方形，只好用硬紙板剪，結果既剪不標準，又因數量太多（一組至少要15個），工作量大，耗時長。二是學生操作難。用硬紙板剪的1平方厘米的正方形小且輕，學生操作起來很困難，既難以做到無縫密鋪，又擠占有限的課堂教學時間。三是同桌或小組合作難。因要測量的長方形小，測量工具也小，既不便于同桌合作，更不便于四人小組合作。因此，筆者只好另想其他方法，第1層次的測量活動改成用6個1平方分米的正方形測量長是3分米、寬是2分米的長方形的面積。這樣學具易準備，學生也易操作。在方格圖上畫長方形的活動代替第2層次的拼擺活動，并增加用面積測量器（透明塑料上印有1平方厘米的方格圖）測量長方形面積的活動。

三、經歷探究過程? 把握面積本質

（一）巧用故事留伏筆

上課伊始，教師出示螞蟻媽媽和小螞蟻的對話情境（如圖2）。

教師首先請學生讀螞蟻媽媽和小螞蟻的對話，然后讓學生找出其中的數學信息。

師：從螞蟻媽媽和小螞蟻的對話中，你發現了哪些數學信息？

生：客廳地面是長方形，要測量長方形的面積。

生：用1平方分米的正方形測量客廳地面的面積。

……

由此，學生從螞蟻媽媽和小螞蟻關于“測量客廳地面的面積”的對話中引出測量工具——1平方分米的正方形;測量的對象——客廳地面，即長方形的面積;知道測量面積要用面積單位。這個故事情境為本節課的學習設置了懸念，為后續幫助學生理解將測量面積轉化成測量長度的可行性埋下伏筆，同時激發學生的探究欲望。

（二）直接測量求面積

教師先讓學生合作用1平方分米的正方形測量客廳地面的面積是多少平方分米（每組同桌都有6個1平方分米的正方形和1個代表客廳地面面積是6平方分米的長方形），然后全班交流反饋。請4組不同鋪法的同桌同學上臺和全班同學分享是怎樣鋪和怎樣數的。

第1組用的是將6個1平方分米的正方形鋪滿長方形且1個1個地數的方法，得出“一共鋪了6個1平方分米的正方形，面積是6平方分米”的結論;第2、3、4組分別用5個、4個、3個1平方分米的正方形鋪在長方形上，用1行鋪幾個、鋪幾行的方法數出，即“長鋪了3個1平方分米，寬鋪了2行，列式是3×2，面積是6平方分米”。根據學生的回答，教師相機板書“6平方分米=3個1平方分米×2行”。

教師把上面鋪的4種圖形展示在屏幕上（如圖3），引導學生觀察、體會“這4組同桌同學鋪的方法——從鋪滿到沒鋪滿，用的正方形的個數越來越少，都測量出了客廳地面的面積”，接著指出：“像這樣用面積單位測量長方形面積的方法叫作直接測量法。”

通過用面積單位1平方分米的正方形直接測量客廳地面的面積，從鋪滿到沒鋪滿，既使學生體會到測量工具的不斷減少及方法變得越來越簡單，又使學生初步感知了面積單位的總個數與每行面積單位的個數、行數之間的關系。

（三）探尋本質建模型

（1）說出下列各圖形的面積。

教師讓學生通過觀察說出圖4中兩個圖形的面積，進一步感知不管是鋪滿還是沒鋪滿，都能看出1行有幾個面積單位，共有幾行，進而列出乘法算式，求出相應圖形的面積。情況①是鋪滿的情形：1行有4個1平方厘米，有3行，面積是12平方厘米。教師相機板書“12平方厘米=4個1平方厘米×3行”。情況②是沒鋪滿的情形：1行有5個1平方米，有4行，面積是20平方米。教師相機板書“20平方米=5個1平方米×4行”。

教師引導學生觀察黑板上的3個等式“12平方厘米=4個1平方厘米×3行”“6平方分米=3個1平方分米×2行”“20平方米=5個1平方米×4行”，歸納得出：等號左邊的數量表示的是面積單位的總個數，等號右邊的第1個數量表示的是每行面積單位的個數，等號右邊的第2個數量表示的是行數。所以根據這3個等式可以概括出“面積單位的總個數=每行面積單位的個數×行數”。

至此，我們從包含3個不同面積單位的3個具體的等式，利用不完全歸納法，構建出計算面積單位總個數的數學模型：“面積單位的總個數=每行面積單位的個數×行數”，揭示了面積的本質是包含面積單位的總個數，讓學生經歷從特殊到一般的思維過程。

（四）間接測量顯方便

師：剛才同學們用面積單位直接測量長方形的面積。如果用直接測量法測量籃球場的面積，要用什么測量工具？

生：用1平方米的正方形來測量。

師：想一想，這樣測量會遇到什么問題？

生：要準備許多1平方米的正方形，太麻煩。

生：1平方米的正方形很大，不方便攜帶。

生：測量的時候，兩個正方形之間要拼接得沒有縫隙，很難操作。

師：用面積單位直接測量長方形的面積這么麻煩，那有沒有更好的辦法呢？

教師在提出引發學生思維沖突問題的同時出示圖5，先讓學生量出長方形的長和寬，再要求學生用面積測量器來測量長方形的面積，最后引導學生思考長方形長、寬的長度分別與每行面積單位的個數、行數有什么關系：長方形的長是5厘米，每行就可以鋪5個1平方厘米;寬是3厘米就能鋪3行，面積是5×3=15（平方厘米）。

（2）量出下面長方形的長和寬。

教師小結：“剛才同學們不用鋪的方法，而是用量出長方形的長、寬的方法計算出了長方形的面積。測量長方形的面積，不用面積單位測量，而是用長度單位測量，這種測量方法叫作間接測量法。這樣測量長方形的面積既簡單又方便。”

（五）看“長”想“面”巧轉化

（3）先在下面方格圖上畫一個 長方形，然后填一填。

是不是所有長方形邊長的長度都分別和每行面積單位的個數、行數存在著這樣的關系呢？教師讓學生完成圖6的要求，完成后先同桌交流，后讓多個學生上臺分享自己的做法和想法。因為各個學生畫的長方形不同，教師要充分讓學生進行多樣化的表達，從看得見的長度數量想到看不見的面積數量，然后，引導學生歸納出“長方形的面積=長×寬”，并讓學生理解公式中的“長”表示什么，“寬”表示什么。

（4）先量一量，再計算它們的面積。

然后，教師讓學生獨自完成圖7的要求，指名學生匯報自己做的結果：左邊長方形的長是5厘米，寬是2厘米，面積是5×2=10（平方厘米）;右邊正方形的長是3厘米，寬是3厘米，面積是3×3=9（平方厘米）。教師引導學生觀察第2個長方形的長和寬有什么特點，學生會發現第2個長方形的長是3厘米，寬也是3厘米，它是個正方形，就可順勢推導出“正方形的面積=邊長×邊長”。

在此基礎上，教師回頭讓學生說出兩個算式中的“5”“2”“3”“3”分別表示什么意義，學生用面積測量器驗證，再說出長方形面積公式、正方形面積公式中的“長”“寬”“邊長”分別表示什么意義，使學生能真正理解長方形面積、正方形面積與長和寬、邊長之間的關系，做到看見長和寬、邊長的長度想到與之分別對應的面積單位的個數和行數。

從求面積的數學模型：“面積單位的總個數=每行面積單位的個數×行數”，到長方形、正方形面積公式，學生的思維經歷了從一般到特殊的過程。

然后，教師回到課始的故事，問學生：“學到這兒，你知道螞蟻媽媽想對小螞蟻說什么嗎？”因學生對直接用面積單位測量的麻煩和間接用長度單位測量的方便有了深刻體會，所以學生會說：“螞蟻媽媽想對小螞蟻說，不要用1平方分米的正方形去測量，只要量出客廳地面的長和寬的長度就可以了。”

總之，計算長方形的面積，本來應該用面積單位去測量，但因這種測量方法太麻煩，所以教師引導學生轉換思路，用測量長度的方法來計算面積。改變測量方法，但面積的本質并沒有變化，因為長、寬的長度分別與每行面積單位的個數、行數之間存在著對應關系，即如長是幾個長度單位，就可以擺幾個相對應的面積單位;寬是幾個長度單位，就可以擺幾行。數值不變，變的只是意義。從直接測量法到間接測量法，教學的關鍵就是要讓學生通過參與測量、畫圖、觀察、思考、表達，經歷“鋪滿—沒鋪滿—不鋪”的方法不斷簡化的過程，學生體會到直接測量的麻煩與間接測量的方便，在明白將測量面積轉化成測量長度的道理的同時，感知其中的變與不變，理解長方形的面積與它的長和寬之間的關系，進而掌握面積的本質。

（作者單位：福建省武平縣教師進修學校）