二維投影在二面體群的分子對稱性教學中的應用

方 煜，黃東楓，孔祥濤

(安陽師范學院 化學化工學院，河南 安陽455000)

0 引言

在分子的點群中，二面體群包括Dn群、Dnh群和Dnd群。其中，Dn群具有一個Cn主軸(n次軸)和垂直于Cn軸的n個C2副軸；Dnh群除了具有Dn群的對稱元素之外，還具有一個垂直于Cn主軸的σh鏡面、n個穿過Cn主軸的σv鏡面以及一個對稱中心(若n為偶數)；Dnd群具有穿過Cn主軸并且能夠平分兩個相鄰的C2副軸之間夾角的σd鏡面以及一個對稱中心(若n為奇數)[1-4]。結構化學課程的教學實踐中，許多學生困惑于如何能夠準確地找到以上所述的所有對稱元素。同樣，結構化學課程的任課教師也對此難以把握。許多結構化學或物質結構的教材以及結構化學精品課程等互聯網資源上提供了幾種良好的關于已知分子結構的對稱操作和對稱元素的三維交互式可視化分子模型資源，這些可以幫助學生學習分子的對稱性[1-5]，但我們仍可以利用平面演示的優勢，增強學生準確理解把握分子的對稱元素方面的能力。從下面的方法可以看出，如果將分子投影到一個合適的平面上，則可以很容易地展示出分子的對稱元素。

1 具有六邊形投影的分子

首先討論處于椅式構象的環己烷分子。如圖1a所示，在結構化學和有機化學等教科書中，這種分子通常像“椅子”一樣。 為了尋找對稱元素，我們將“椅子”向后傾斜并旋轉以查看正面和背面(圖1b)。從中可以看出，六個碳原子在等分(平分)該分子的假想水平面的上方和下方以交替的方式均勻分布。現在旋轉該假想水平面，使該假想水平面成為紙的平面(圖1c和圖1d)，然后選擇紙作為投影平面，并將六個碳原子投影到紙平面上，就得到一個六邊形(圖1d)。接著，我們將六個碳原子分為兩個組：用紅色字體標記的碳原子在投影之前在紙平面上方，用藍色字體標記的碳原子則在紙平面下方。從圖1d中我們可以看出，穿過六邊形中心并垂直于紙平面的線是C3主軸(也是S6軸)，因為繞其旋轉120°后，僅會互換那些用相同顏色字體標記的碳。連接兩個對邊的中點的線是C2副軸，因為繞其旋轉180°后，只會將紅色字體標記的碳原子旋轉到藍色字體標記的碳原子所處的位置上，反之亦然。一共有三個這樣的C2副軸，它們均在紙平面上并垂直于C3主軸。穿過六邊形中兩個相對的頂點并垂直于紙平面的鏡面是σd鏡面。如圖1d所示，這個鏡面將兩個相鄰的C2副軸所形成的夾角一分為二。這樣的鏡面也是一共有三個，所有這些對稱元素都在六邊形的中心相交。這個六邊形的中心也是分子的對稱中心，因為穿過這個中心的反演操作，會將用紅色字體標記的碳原子(投影前在距離為d的紙平面上方)移動到用藍色字體標記的碳原子(投影前在距離為d的紙平面下方)所處的位置上，反之亦然。現在該分子的所有對稱元素都清楚地顯示在圖1d中，并且處于椅式構象的環己烷分子屬于D3d群。

圖1 處于椅式構象的環己烷分子及其投影(a、b、c、d)；[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+配合物離子及其投影(e、f、g)

現在，我們來討論圍繞八面體金屬骨架構建的[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+配合物離子(圖1e)。 如果我們把圖1e的分子從紙平面上豎立起來，再從頂部面向下的角度來觀察這個分子，將得到圖1f。 我們選擇紙平面作為投影平面，則圖1g是投影圖。 與圖1d相比，對稱軸沒有變化，但是圖中的三個乙二胺配體破壞了σd鏡面和對稱中心，因此[Co(en)3]3+屬于D3群。

2 具有八邊形投影的分子

接下來，我們討論具有八元環的分子。圖2a中顯示的分子是硫冠S8，圖2b是其俯視圖。同樣，我們選擇紙平面作為投影平面，則硫冠S8的投影是一個八邊形(圖2c)。從圖2c中可以看出，穿過八邊形中心并垂直于紙平面的線是一個S8映軸(也是C4軸)，因為圍繞它旋轉45°之后，會將紅色字體標記的硫原子轉到藍色字體標記的硫原子所處的位置上，然后，通過紙平面的反映操作會再次回到紅色字體標記的硫原子所處的位置上。連接兩個對邊的中點的線是C2副軸，總共有四個這樣的軸。穿過八邊形的兩個相對的頂點并且垂直于紙平面的鏡面是σd鏡面，總共有四個這樣的鏡面。所有這些對稱元素在八邊形的中心相交，但是硫冠S8分子沒有對稱中心，因為處于相對的頂點位置上的兩個硫原子的標記的字體顏色是相同的，因此，在投影之前它們都在紙平面的上方或在紙平面的下方。所以，這兩個硫原子不能通過反演操作互換。現在我們可以得出結論，硫冠S8分子屬于D4d群。

圖2 硫冠S8分子及其投影(a、b、c)；[8]環辛四烯分子及其投影(d、e、f)；1,3,5,7-四甲基-[8]環辛四烯分子及其投影(g、h)

接下來我們討論[8]環辛四烯分子(圖2d、圖2e)。 從這個分子的投影圖(圖2f)中我們可以看出，穿過八邊形中心并垂直于紙平面的線是一個S4映軸(也是C2軸)。在紙平面上并穿過兩個相對的單鍵中點的兩條線是兩個C2副軸。 垂直于紙平面并穿過兩個相對的雙鍵中點的兩個鏡面是σd鏡面。像硫冠S8分子一樣，[8]環辛四烯分子也沒有對稱中心。 處于相對的頂點位置上的兩個碳原子的標記的字體顏色是相同的，因此，[8]環辛四烯分子屬于D2d群。

現在，我們看一下1,3,5,7-四甲基-[8]環辛四烯分子(圖2g)，圖2h為此分子的投影圖。 與圖2f相比，剩下的唯一對稱元素是S4旋轉-反映軸，該分子屬于S4群。

3 屬于二面體群的其他典型分子

屬于二面體群的另一個典型分子是丙二烯。我們將不再對其進行詳細討論，僅在表1中給出討論的結果。為了進行比較，表1中還包含了幾種烯丙基衍生物。表2給出了屬于二面體群的其他典型分子。

在向學生講授屬于Dnd點群的分子時，我們發現分子的2D投影對于展示S2n映軸的旋轉-反映操作特別有用。對于學生來說，識別Cn軸并不困難，繞Cn軸旋轉360°/n可以使等效原子相互轉化。然后，我們再讓學生考慮一下360°/2n的旋轉，這種選擇將紅色字體標記的原子轉到藍色字體標記的原子所處的位置上。這時，我們再讓學生考慮如何再次將藍色字體標記的原子回到紅色字體標記的原子所處的位置上(答案當然是進行反映操作)。所以Cn旋轉軸也是一種S2n映軸。

表1 丙二烯及其衍生物分子

表2 屬于二面體群的其他典型分子

4 結論

總而言之，在結構化學教學中需要讓學生意識到，將一個屬于二面體群的分子投影到一個合適的平面上所產生的投影，通常是一個多邊形或兩個交錯式的多邊形。提醒學生如果要找到對稱軸，務必注意觀察過中心并垂直于多邊形的線、連接兩個對邊的中點的線、連接兩個相對的頂點的線以及連接頂點和處于對面頂點中點的線。至于對稱面，可以是多邊形本身的平面，也可以是垂直于多邊形并穿過兩個相對側面或兩個相對頂點的中點的平面，或者是穿過頂點和相對側面的中點的平面。如果分子具有對稱中心，則它必須是多邊形的中心。還應讓學生認識到，除了對于二面體群之外，學習繪制二維投影的方法對于理解其他一些點群也會有用，并且可以方便地將分子與其衍生物進行分子對稱性方面的比較。作為計算機輔助的可視化教學方法的補充，此方法簡單、有效(甚至使用彩筆或鉛筆和一張紙便可實施)。這種方法還拓展了學生的結構化學學習技能，使其可以在二維平面上繪制出三維分子，并準確找到可以說明分子對稱元素的視角。我校學習結構化學的學生反饋表明，學習繪制分子的二維投影，可以清楚地展示C2副軸的位置以及σd鏡面如何將兩個相鄰C2副軸所形成夾角一分為二的過程，有助于學生理解和掌握屬于二面體點群的分子對稱性，從而提高了學生的結構化學學習效果。