高中數學軌跡方程的問題解析

李 涌

（四川省綿陽中學 四川綿陽 621000）

求平面上動點的軌跡方程是教學大綱中要求掌握的內容，也是高考中的考查內容。軌跡就是即點的集合，方程是實數對的集合。在特定條件下求動點軌跡的方程，其實就是運用已知點的坐標間特性尋求變量間關系。所以，在對軌跡方程進行解題時，就要全面運用題目中給出的幾何條件，基于“解析化”把其變成代數式。因為動點運動規律提供的條件存在很大的差異，所以，求動點軌跡方程的方法自然也存在差異，教師要教授學生常用的解題方法，幫助學生掌握和運用，提升學生的解題效率和準確性。

一、直接法

若是動點滿足的幾何條件自身屬于一些幾何量的等量關系或者是這些幾何條件簡單清楚和容易表達，那么就可以選用直接法，直降將關系翻譯為x，y的等式，這樣就能夠得出曲線的軌跡方程。使用這種方法對軌跡方程進行求解，過程簡單，不用其他的步驟，也不用特殊技巧[1]。

在對曲線軌跡方程進行求解時，學生要按照步驟進行：首先，構建相應的平面直角坐標系，設軌跡上任意一點坐標M（x，y）；其次，找到動點和已知點符合的關系式；再次，將動點和已知點坐標帶入到關系式中；第四，對方程實施簡化整理；第五，證明求得的方程是所求曲線的軌跡方程。一般若是求軌跡方程，那么就可以省略第二步和第五步。

二、參數法

有時候在求動點時，需要滿足的幾何條件不容易得出，也沒有顯著的有關點，然而卻能夠發現該動點的運動常受到另一個變量的限制，如，截距、角度、比值、時間、斜率，也就是動點坐標（x，y）中的x和y分別會跟隨另一變量變化而動態變化，這時就可以將該變量作為參數，結合其構建出相應的參數方程，這就是參數法。若是普通參數，就可以消除掉參數。在求解軌跡方程時，該方法就是一種常用方法，如果能合理的選擇參數，就可以對問題進行簡化，提升學生的解題效率。

使用該方法求解動點軌跡方程，學生也需要按照步驟進行：第一，構建坐標系，設動點p（x，y）；第二，結合軌跡條件，選擇相應的參數；第三，明確動點坐標中的x，y和參數的關系式，也就是構建參數方程；第四，對參數進行消除得出普通方程；第五，討論。在這些步驟中，明確參數是重點。選擇合理的參數需要方便構建動點參數方程，還要容易消除參數。除此之外，動點跟隨動直線繞某個點旋轉的情況，參數選擇就應確定為斜率k，這樣解題較為便利[2]。

三、相關點法

在一些問題中，其動點符合的條件不方便使用等式列出，然而動點是隨著另一動點，也就是相關點而運動，若是有關點符合的條件是能夠分析或者是顯著的，就可通過動點坐標系代表有關點坐標，結合有關點坐標符合的方程就能夠求出動點的軌跡方程，該方法被稱為坐標代換法或是相關點法。

四、定義法

如果動點軌跡條件符合某個基本軌跡定義，例如，雙曲線、橢圓、圓和拋物線，那么就可以結合定義內容進行軌跡方程的求解。

五、變軌法

在對動點軌跡進行求解的過程中，有時會產生求兩條動點曲線交點的軌跡問題，一般基于方程組可以得到交點坐標，之后再將參數進行消除，得到要求軌跡的方程，變軌法通常會和參數法一起運用。

曲線方程求解和軌跡求解的要求存在差異，如果要求軌跡，那么除了要求出方程之外，還需要討論和闡述所求軌跡是什么樣的圖形、在何處、大小、位置。求軌跡需要先將軌跡方程求出，之后再闡述方程的軌跡圖形，最后，將增多的點去除及補漏，要是軌跡情況不一樣，就要分開討論。

六、軌跡方程求解需要注意的問題

第一，對于動點符合的所有條件需要全面、多層次的進行分析，尤其要注意動點受到的隱含的限制條件，避免對點集范圍進行縮小或者是擴大；第二，在簡化方程時，需要注意同解變形，而不是同解變形的，就要對x，y存在范圍進行判別和說明，保證軌跡不重復不遺漏；第三，針對實際問題，就需要結合具體問題對于動點軌跡的限制；最后，要對軌跡方程與軌跡概念進行區分。如果求動點軌跡，除了要寫出動點軌跡方程，還需要闡述軌跡名稱、位置特點和形狀特征等。

七、結束語

綜上所述，教師在高中數學教學中，要注重軌跡方程解決方法的教授，讓學生靈活的運用幾種解題法，如，直接法、變軌法、代換法、定義法等，讓學生更好的學習和掌握軌跡方程問題，提升學生的數學成績。