對數函數問題易錯點指津

徐彩娥

對數函數是函數的重點內容之一，由于它涉及的知識面廣、靈活性較強，因此同學們在解題時容易出錯。

一、求對數型函數的定義域時考慮不全

例1 求函數y=logx+1(16-4x)的定義域。

錯解：由16-4x＞0，解得x＜2，所以函數的定義域為(-∞，2)。

錯因剖析：上述解法只考慮了真數的取值限制，卻忽視了底數的取值限制。

友情提示：求對數函數的定義域，要注意滿足兩個條件：一是真數大于零，二是底數大于零且不等于1。

二、求對數函數單調區間時忽視定義域

例2 求函數f(x)=log2(2x+1)的單調區間。

錯解：因為函數u=2x+1 在(-∞，+∞)上是增函數，而y=log2u 也是增函數，所以函數f(x)=log2(2x+1)的單調增區間為(-∞，+∞)。

錯因剖析：上述解法忽視了函數的單調區間是函數的定義域的子區間。解答本題先要求出函數的定義域。

友情提示：在研究函數問題時，要優先考慮定義域，這是研究函數的最基本原則。

三、混淆對數函數問題的值域為R 與定義域為R

例3 已知函數y=log2(ax2+2x+3)的值域為R，求a 的取值范圍。

錯因剖析：上述解法沒有理解對數函 數 的 定 義。當x ＞0 時，y=logax∈R，即當x 取遍大于零的全體實數時，相應函數值取遍全體實數。對此題而言，要使y∈R，則函數u=ax2+2x+3的值域必須包含全體正數。

友情提示：若函數y=logaf(x)

的定義域為R，只需真數大于零恒成立；若函數y=logaf(x)的值域為R，只需f(x)取遍一切正數。解題時，當二次項系數含有字母時，需要注意分情況討論。

四、忽視對數函數真數大于0這一“鐵律”

例4 已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x 的減函數，則a 的取值范圍是____。

錯解：函數y=loga(2-ax)是由y=logau，u=2-ax 復合而成。由a＞0，可知u=2-ax 在[0，1]上是x 的減函數。由復合函數知y=logau 是增函數，所以a＞1。

錯因剖析：上述解法雖然考慮了對數函數與一次函數的復合關系，卻忽視了真數必須大于零這一先決條件。

正解：由a＞0，可知u=2-ax 在[0，1]上是x 的減函數，由復合函數知y=logau 是增函數，所以a＞1。因為x 在[0，1]上時y=loga(2-ax)有意義，u=2-ax 是減函數，所以當x=1時，u=2-ax 取最小值為umin=2-a＞0，所以a＜2。綜上可知，a 的取值范圍是(1，2)。

友情提示：在求復合函數的單調性問題時，不僅要結合內外函數的單調性，更要注意它們本身的定義域。