聚焦數形結合思想在函數零點問題中的滲透

胡 彬

函數的零點是高考命題的重點，它可與多種函數及函數的圖像、性質相結合命題，其中滲透數形結合的思想方法。利用數形結合法，可使函數零點的復雜問題簡單化、函數零點的抽象問題具體化，有助于把握該數學問題的本質，有利于達到優化解題的目的。

聚焦一：利用圖像判斷函數零點(方程根)的個數

由圖可知，其圖像交點個數為3。

評析：判斷函數零點個數的三種方法：①方程法，若對應的方程f x( )=0 可解時，則有幾個解就有幾個零點(相同的解除外)；②零點存在性定理法，利用定理不僅要判斷函數在區間a，b[ ]上是連續不斷的曲線，且f a( )·f b( )＜0，還必須結合函數的圖像與性質，才能確定函數的零點個數；③圖像法，畫出兩個對應函數的圖像，其圖像交點的個數就是函數零點的個數。

聚焦二：函數零點(方程根)所在區間的判斷

解：設f(m)=6。由f[f(x)-log2x]=6，可得f(x)-log2x=m，整理可得f(x)=log2x+m，則f(m)=log2m+m=6，解得m=4，所以函數f(x)=log2x+4。

評析：解答本題的關鍵是求出函數f(x)的解析式，其中畫出函數圖像可使解題過程更簡化。

聚焦三：函數零點的綜合問題

解：畫 出 函 數f(x)的圖像，如圖2所示。

由圖可知，要使方程f(x)=m 有四個不等實根，則1≤m＜2。

評析：函數零點問題常與函數的性質或其他知識綜合考查，題型設計新穎，知識的綜合度較高，對思維能力要求較高，可以培養同學們的核心素養。