一道鍛煉同學們思維品質的好題

朱 慧 田發勝

題目 如果a+10a=5，b+lgb=5，則a+b=_____。

這是一道考查同學們思維品質的好題目。有些同學在看到這個題目后，毫無思路可言，一點頭緒也沒有，實際上，仔細分析題目中條件的結構特征，抓住條件中的區別與聯系，靈活轉化，就能獲得很多思路，從而得到眾多的解法。

思路一：把指數與對數不同的結構變為相同的結構來處理

解法1：由已知可得5-a=10a，b=105-b。兩式相減可得5-a-b=10a-105-b。 ＊

如果5-a-b＞0，即5-b＞a，那么105-b＞10a，即10a-105-b＜0，從而＊式不成立；如果5-a-b＜0，即5-b＜a，那么105-b＜10a，即10a-105-b＞0，從而＊式也不成立。

綜上所述，5-a-b=0，即a+b=5。

解法2：由已知可得a=lg(5-a)，5-b=lgb。兩式相減可得5-a-b=lgblg(5-a)。 ＊

如果5-a-b＞0，即5-a＞b，那么lg(5-a)＞lgb，即lgb-lg(5-a)＜0，從而＊式不成立；如果5-a-b＜0，即5-a＜b，那么lg(5-a)＜lgb，即lgb-lg(5-a)＞0，從而＊式也不成立。

綜上所述，5-a-b=0，即a+b=5。

思路二：構造方程，利用圖像來處理

解法3：因為b+lgb=5，所以lgb=5-b，即b=105-b，也即5-(5-b)=105-b。 ①

由a+10a=5，可得5-a=10a。 ②

觀察①②式的特點，可知5-b，a 是方程5-x=10x的兩個根。在同一坐標系中分別畫出函數y=5-x，y=10x的圖像(圖略)，易知兩圖像有唯一的交點，從而方程5-x=10x有唯一的根。所以5-b=a，即a+b=5。

解法4：因為a+10a=5，所以lg(5-a)=a，即5-(5-a)=lg(5-a)。 ①

由b+lgb=5，可得5-b=lgb。 ②

觀察①②式的特點，可知5-a，b 是方程5-x=lgx 的兩個根。在同一坐標系中分別畫出函數y=5-x，y=lgx 的圖像(圖略)，易知兩圖像有唯一的交點，從而方程5-x=10x有唯一的根。所以5-a=b，即a+b=5。

思路三：構造函數，利用單調性來處理

解法5：構造函數f(x)=x+lgx，則已知條件可化為f(b)=f(10a)=5。

易知f(x)在(0，+∞)上是增函數，所以b=10a。所以a+b=a+10a=5。

解法6：構造函數f(x)=x+10x，則已知條件可化為f(a)=f(10b)=5。

易知f(x)在(0，+∞)上是增函數，所以b=10a。所以a+b=a+10a=5。

思路四：利用互為反函數的圖像關系來處理

解法7：由已知可得10a=5-a，lgb=5-b，故a，b 分別是方程10x=5-x，lgx=5-x 的根。所以a 是函數y=10x與函數y=5-x 交點的橫坐標，b 是函數y=lgx 與函數y=5-x 交點的橫坐標。

函數y=10x與函數y=lgx 互為反函數，其圖像關于直線y=x 對稱，所以它們與同一條直線y=5-x 的交點也關于直線y=x 對稱。

編者注：在學習的過程中，當同學們遇到陌生的題目，或不熟悉的問題時，一定要細心觀察，認真分析，找出條件中的區別與聯系，向學過的知識靠攏，消除差異，靈活轉化，就能使問題獲得圓滿解決。