多元表征在代數領域的運用思考

馬花

【摘要】表征是一種教學手段，利用它可以加深學生對數學的理解，它存在于數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐等各大領域教學中。在代數領域中，運用圖形表征，對于學生理解數的特征、運算方法、數的大小比較等有重要的作用。

【關鍵詞】圖形表征 ? 模型表征 ?言語表征

數學是研究數量關系和空間形式的科學。兒童學習數學的主要矛盾是抽象和形象的矛盾，表征是化解這一矛盾的辦法之一。何為“表征”？《站起來的兒童數學》一書中指出：“表征是利用某一種形式，將事物或者想法重新表現出來，以達到溝通的目的。”當表征所表示的意思真正掌握以后，可以進一步作為生成性資源，從而幫助學生降低解題難度。

在教學過程中，我們發現大多學生在代數領域不能夠主動建構不同于教學中最常用的表征。而且還發現數學成績與數學表征能力相互影響、促進，互為因果。其中，學有余力的學生表征方式的特點有方式比較豐富、具有整合性、靈活性，能在較大程度上反映概念的本質屬性，比較準確。而學習有困難的學生所呈現的表征特征是方式比較單一、具有分散性、僵滯性，反映概念本質屬性的程度低，不夠準確。

表征是一種教學手段，利用它可以加深學生對數學的理解，它存在于數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐等各大領域教學中。在代數領域中，運用圖形表征，對于學生理解數的特征、運算方法、數的大小比較等有重要的作用。

一、借助圖形表征，揭開數特征的面紗

布魯納認為，兒童的思維活動依賴外在刺激的程度來決定兒童心智的成長。教材在編排認數的邏輯順序一般是通過實物、圖形等直觀可視的方式來表征抽象的數，為學生認識、理解數提供幫助。當離開具體物體時，學生能在心中以具體的形象作為思考的材料并以圖形的形式進行展現。這種可視化的闡述拉近了抽象的數與學生心理的差距，從而易于學生理解和接受。

如教學五年級下冊《認識分數》時，兒童理解分數意義的關鍵在于對“單位1”的正確認識，“單位1”不僅可以表示一個東西或一個計量單位，還可以表示由幾個物體組成的一個整體，所以這節課的重點與難點都應該放在認識“單位1”的意義上。通過呈現用實物圖表示的一塊餅、一個長方形、一根1米長的直條和由6個圓組成的一個整體，讓學生用分數表示每個圖中的涂色部分，同時讓學生知道一個物體、一個計量單位或由許多物體組成的一個整體，都可以用自然數1來表示，并由此引出單位“1”的概念。通過表征，單位“1”變得直觀、可視，這樣的方式使學生很自然地理解用“自然數1”來表示單位“1”。

學生認數的過程中離不開直觀，借助“形”的生動性和直觀性認識數，化抽象為具體，在大量感性材料中學生感悟數的內涵，建立表象，從而更好地溝通數的意義、數與數之間的聯系、數感的培養。如：在數小棒、搭多邊形中認識整數;在等分圖形中認識分數和小數;利用交集圖理解公因數與公倍數;等等。這種可視的表征方式喚起了學生的生活經驗，從而使學生揭開數的本質。

二、借助模型表征， 回歸意義價值

模型表征是以具體可觸摸的模型取代實物，并保留原物的可操作性。以模型表征數，使抽象的數和現實之間的數量建立聯系。模型表征的教學要做到有步驟、有計劃的推進，使兒童親身經歷表征的全過程。在這種形式化的表征中，學生可以掌握相對難理解且課本中抽象化水平較高的內容。

在小學階段學生主要學習“行為的分數”。教材中往往以學生數學的日常生活與活動為模型，建立分數的概念。例如：把一個蛋糕平均分成兩份，每份是 ;把一張正方形的紙平均分成四份，其中的一份是 。這僅僅是從面積模型的角度來理解，學生還可以借助多種模型來理解分數。

如：分數的集合模型表征。

分數的集合模型需要學生有更高層次的抽象能力，它的核心是把“多個”看作“整體1”，其優點是有利于比較抽象的數值形式表示“比”與“百分比”。“整體1”可以分為以下6種情況（以“ ”為例）：

①1個物體，比如，一個“正方形”平均分為6份，取其中的1份;

②6個物體，比如，“6支鉛筆”其中的“1支”占“6支”的 ;

③6個以上但是6的倍數，比如，“12塊餅干”平均分為6份，取其中的1份;

④比1個多但比6少，比如，“2塊糖”作為整體;

⑤比6個多但不能被6整除，比如，“7個蘋果”作為“整體”;

⑥一個單獨物體的一部分的六分之一，比如，1米的五分之四的六分之一。

用這些材料進行表征可幫學生建立“單位”“位值”等概念，為他們進行有意義的運算打下基礎。

再如：分數的數軸模型表征。

數軸上點與數的對應——數形結合的思想，這種思想第一次進入學生的頭腦，應該說這是數學思想方法上的一次飛躍，一次革命。數軸學習的過程，就是溝通數與直線的聯系的過程。數軸的原型是溫度計和行程路線圖，首先由溫度計、行程路線圖提煉出數軸的幾何結構，然后建立分數、小數、整數以及今后學習負數與直線上點的對應，這就得出了數軸。而這個數軸作為橋梁就把看上去無關的兩個無窮集合建立聯系，一方面數的性質可以直觀地表示在圖形上，另一方面在圖形上又可以形象而具體地研究數的性質。

例：在直線上畫出表示各分數的點，看看表示真分數和假分數的點各在直線的哪一段上。

通過觀察數軸上表示各個分數的點的位置，學生會有三點發現：第一，表示真分數的點在0和1之間，因此真分數都比1小;表示假分數的點在1或1的右邊，因此假分數等于或者大于1。第二，每條數軸上的同分母分數從左往右逐漸變大，這是因為它們含有分數單位的個數增多。第三，表示“ ?、 、 ”的點都與表示1的點重合，表示“ ?、 、 ” ?的點都與表示2的點重合，表示二分之六的點則與表示3的點重合，這就表明上述假分數中較為特殊的一類，它們都可以化成整數。利用數軸的直觀性表征進行教學，學生對于真分數、假分數等之間的區別和聯系有了更加可視化的表征，可以取得事半功倍的效果。

三、借助言語表征，完善結構系統

言語表征是語言材料所負載的信息在頭腦中的存在方式，是一種相對圖形表征來說較為高級的表征方式。言語表征是符號性表征中的一種，它是儲存于頭腦中的“概念意向”在特定的時候被激活，適時描摹對象并用口語加以描述，其他個體可結合語言來勾畫具象的過程。

例如：把假分數化成帶分數時，關鍵要引導學生找到相應的整數和真分數，理解“可以用除法計算”的道理。有的同學會聯系圖來描述，“ ” 里有“11個 ”，其中的“8個 ”可以看作2，其余的“3個 ”是“ ”，“2與 ”合起來是“ ”。

又如：在進行分數與小數比較大小時，有的學生借助已有的知識經驗和生活經驗來描述：0.5米是1米的一半， 超過了1米的一半，所以“0.5> ”;有的同學運用自己的策略與方法進行比較，在比較中自主探索把分數化成小數的方法：把“ ”轉化成小數0.75。以言語符號進行表征的兒童，他們的思維活動不再依賴實物或圖像的操作，僅以口語這一符號來反映個體的心智活動，故抽象思考性較高。

在教學過程中，教師的教學應該建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上，應引導學生運用多元表征，引領學生經歷自我建構、自我生成的過程。

【參考文獻】

1、教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

2、王林.小學數學課程標準研究與實踐[M].南京：江蘇教育出版社，2011.

3、莊惠芬.站起來的兒童數學[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2015.

4、陳曦.借助直觀表征培養數學思維能力[J].小學數學教育，2016（9）.