祖暅原理中的數(shù)學(xué)文化

王麗 陳振丹

摘 ?要：普通高中課程理念和新高考考察要點(diǎn)中都強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)文化的價(jià)值。本文通過介紹祖暅原理，用元素法計(jì)算立體幾何圖形的體積來合情推理祖暅原理，展示在初等數(shù)學(xué)課堂上如何滲透數(shù)學(xué)文化。

關(guān)鍵詞：祖暅原理;元素法;數(shù)學(xué)文化

Abstract：In senior high core quality of mathematics of middle school students，practice the theory of Educational Mathematics.

Keywords：Teaching practice，Area of circle，Volume of a sphere

1、引言

數(shù)學(xué)文化是往往是容易忽視而又不可或缺，學(xué)生們通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化，能夠感受到學(xué)科魅力、領(lǐng)悟人文價(jià)值、體會(huì)美學(xué)應(yīng)用等，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，人文情懷和學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生們的創(chuàng)新與探索精神。

在人教版高中數(shù)學(xué)必修二第一章《空間幾何探究與發(fā)現(xiàn)祖暅原理》中介紹了祖暅原理“兩個(gè)夾于兩個(gè)平行平面間的幾何體，被平行這兩個(gè)平面所截的任意兩個(gè)平面，若截得的兩個(gè)截面面積總相等，那么這兩個(gè)被夾的幾何體體積相等”。由于初等數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的局限性，課本中無法給出詳細(xì)的說明。

有大量文獻(xiàn)闡述這方面的內(nèi)容，具體見[1-10]。文[1]給出祖暅原理的歷史和簡單證明，大量講述其由來，但證明過于簡潔，不適合初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者閱讀。文[2-4]從祖暅原理的歷史闡明和將祖暅原理運(yùn)用到教學(xué)中的方式及作用與效益，但就其歷史和應(yīng)用分別來談其有益相對(duì)狹義，相結(jié)合則更加完善。文[5-7]用典例解釋高考題中的數(shù)學(xué)文化，其中簡單闡明了數(shù)學(xué)文化的狹義定義。文[8，9]對(duì)文化從思想、核心素養(yǎng)、教育教學(xué)特定方面進(jìn)一步闡釋，并進(jìn)一步解釋了數(shù)學(xué)文化。文[10]中通過運(yùn)用近似，分割，求和，取極限的步驟得到定積分，利用定積分證明高中階段立體幾何中的基本公式，該文選擇幾組特殊的平面圖形和立體圖形進(jìn)行求面積或者體積，并分析了各公式之間的聯(lián)系，充分體現(xiàn)了廣義的數(shù)學(xué)文化。

本文采用定積分中的元素法計(jì)算圓錐的體積和平面切割圓錐頂層并將切割的頂層挪動(dòng)的體積來證明祖暅原理中闡述的內(nèi)容，闡述“冪勢即同則積不容異”，挖掘包含其中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，并說明教學(xué)當(dāng)中結(jié)合數(shù)學(xué)文化講課所帶來的曾益。

2、祖暅原理的由來

祖暅原理即是“等積原理”【1】，是在祖沖之及其子祖暅推導(dǎo)球體積公式過程中發(fā)現(xiàn)提出的。球的體積的計(jì)算最初出現(xiàn)是在《九章算術(shù)》中，因?yàn)檎叫闻c其內(nèi)接球面積比為4：3，正方體與其內(nèi)接等邊圓柱的體積之比也為4：3，從而得出正方體與其內(nèi)接球的體積之比為16：9，進(jìn)而解決球的體積問題。劉徽發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中體積公式的比例錯(cuò)誤，構(gòu)造出“牟合方蓋”解決問題的思想（古人稱傘為“蓋”，“牟”同“侔”），并未正確求出球的體積公式。祖暅沿用劉徽的思想去進(jìn)行探索，將精力從牟合方蓋轉(zhuǎn)到方蓋差上，再進(jìn)行分割得到小方蓋差，從小方蓋差著手，利用兩平行平面去截取兩個(gè)夾在其間的幾何體，再進(jìn)行面積體積計(jì)算和比較，若得當(dāng)高度與截面面積相同時(shí)，其體積相等的結(jié)論（即冪勢即同則積不容異，“勢”為高，“冪”為面積，“容”為體積），這樣就解決了球的體積。

由上述證明知：當(dāng)高度與截面面積相同時(shí)，其體積相等，即驗(yàn)證了“冪勢即同則積不容異”的道理。

4、祖暅原理中的數(shù)學(xué)文化

祖暅原理由《九章算術(shù)》發(fā)起，“牟合方蓋”的發(fā)展，最后得到祖暅原理求得體積，這一段數(shù)學(xué)發(fā)展史是數(shù)學(xué)文化上燦爛的一筆。祖暅原理是在前人的基礎(chǔ)上一步一步發(fā)展起來的，《九章算術(shù)》在當(dāng)時(shí)是權(quán)威，劉徽發(fā)現(xiàn)問題與錯(cuò)誤并沒有因?yàn)闄?quán)威而懷疑放棄自己的觀點(diǎn)，祖氏父子沿其方向探究。這個(gè)素材充分展示了數(shù)學(xué)家實(shí)事求是、敢于質(zhì)疑的精神。有利于培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題，敢于提出問題，勇于探索問題的能力。

無論在那個(gè)學(xué)習(xí)階段，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性和勇于探索的精神都很重要重要，在中學(xué)階段尤為突出。那么中學(xué)老師激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情需要哪些條件呢？首先一定的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備是必要的。如若沒有一定的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備，學(xué)生很難對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生興趣。因此，要想提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，必須要使得學(xué)生有一定的知識(shí)準(zhǔn)備，以培養(yǎng)他們廣泛穩(wěn)定的興趣。在課堂教學(xué)中，老師可以通過學(xué)習(xí)書本的知識(shí)點(diǎn)，挖掘其知識(shí)點(diǎn)背后的數(shù)學(xué)文化然后傳授給學(xué)生們，讓同學(xué)們學(xué)習(xí)中不單單只是枯燥的學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，而更深層次的了解知識(shí)點(diǎn)承載的數(shù)學(xué)文化，不僅提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更能夠深刻理解知識(shí)點(diǎn)，在遇到復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠巧妙的運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，解決問題。例如，例如高中學(xué)生剛學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，由于暫時(shí)還沒有從平面幾何轉(zhuǎn)過彎來，對(duì)立體幾何不感興趣，可以簡略地介紹立體幾何的某些定理的歷史。例如介紹一下祖暅原理的相關(guān)歷史，在數(shù)學(xué)中祖暅原理的相關(guān)應(yīng)用。學(xué)生通過學(xué)習(xí)祖暅原理的歷史由來，讓學(xué)生不局限于數(shù)學(xué)只有理論的印象當(dāng)中，還能夠激發(fā)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)的興趣和深入探索的意向。其次，對(duì)于課堂上好奇心較強(qiáng)的學(xué)生來說，課后還會(huì)去搜集祖暅原理相關(guān)的資料，了解更多的知識(shí)點(diǎn)。另一方面，祖暅原理在解決某些復(fù)雜數(shù)學(xué)問題方面也是頗為有用的。從這些方面看來祖暅原理帶給我們的不僅僅是學(xué)術(shù)理論，在課堂伸展教學(xué)中，能給予我們伸展的方向及度量，且在解題技巧上亦有不可多得的幫助。

下面我們通過解析（2013年上海高考理科第13題）來感受如何運(yùn)用祖暅原理巧妙解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

例，在XOY平面上，將兩個(gè)半圓弧 ?和（x ?、兩條直線 和 圍成的封閉圖形記為D，如圖3中陰影部分，記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何為Ω，過 ?作Ω的

水平截面，所得截面面積為 ，試得出Ω的體積值（ ? ?）

這道高考題若按照普通水平學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備，這道題目算是一道難題，基礎(chǔ)稍微好的學(xué)生容易掉入“割補(bǔ)法”的陷阱中，但是如果學(xué)生有祖暅原理相關(guān)的知識(shí)儲(chǔ)備，那么該題將迎刃而解。根據(jù)題意知，一個(gè)半徑為1，高為 的圓柱平放，一個(gè)高為2，底面積為 的長方體，這兩個(gè)幾何體與Ω放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個(gè)平行平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即Ω的體積值為 。

祖暅原理的出現(xiàn)，解決了大部分體積問題，更給出了解決體積問題的積累思想。祖暅原理以牟合方蓋的思想來貫穿整個(gè)探索，放在現(xiàn)代就是無限分割、微元、積分思想，充分體現(xiàn)了極限、建模的思想理念，這正蘊(yùn)含著現(xiàn)代初等數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)建模方面的核心素養(yǎng)。這些數(shù)學(xué)工具、方法、思想的運(yùn)用，有利于培養(yǎng)自身學(xué)習(xí)能力和構(gòu)造性思維和探索的能力、創(chuàng)新能力。祖暅原理對(duì)我們現(xiàn)在的學(xué)習(xí)與教學(xué)都有重大的影響，基于數(shù)學(xué)課堂上的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，老師為主導(dǎo)和學(xué)生為主體的辯證統(tǒng)一關(guān)系，可以歸結(jié)到如文化史一般在前人的思想上加以新發(fā)現(xiàn)新思想。打好基礎(chǔ)與創(chuàng)新發(fā)展，可來源于運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，方法去探索創(chuàng)新，有效率地提高自我。數(shù)學(xué)思維中熟練與理解的交互作用，可表現(xiàn)在運(yùn)用已有知識(shí)，用自己的想法去證明原理，不難看出祖暅原理中蘊(yùn)含的探索精神，極限和建模的思想理念，證明的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性以及帶給課堂教學(xué)的延展性和張力都是數(shù)學(xué)文化的體現(xiàn)和傳承。

祖暅原理作為人類認(rèn)識(shí)物體體積的一種重要的工具，是歷史的產(chǎn)物，是社會(huì)歷史實(shí)踐中所創(chuàng)造中所流傳下來的物質(zhì)和精神財(cái)富，其展現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)與人文的結(jié)合，以其相關(guān)背景知識(shí)、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)工具等作為載體來傳承其數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)精神，以此展現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性并培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在近些年無論是從教育部的改革來看，還是從大學(xué)入學(xué)考試試題來看，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化正在悄悄地進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課堂、進(jìn)入高考、進(jìn)入高考考察的范圍，一些題也因?yàn)槠浔澈蟪休d的數(shù)學(xué)文化而成為了經(jīng)典試題，在當(dāng)今的教學(xué)課堂中，可以預(yù)見，甚至可以看見，富含數(shù)學(xué)文化的一些考試題出現(xiàn)，正在逐漸引導(dǎo)教師往數(shù)學(xué)文化這方面挖掘和探究，繼而把數(shù)學(xué)文化滲透到課堂教學(xué)中，最終實(shí)現(xiàn)《普通高中教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中教學(xué)過程中“傳授數(shù)學(xué)文化”的預(yù)期目標(biāo)，這一目標(biāo)也充分體現(xiàn)了文化自信。

基于祖暅原理中的數(shù)學(xué)文化在此重申筆者對(duì)于數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)，從狹義上來說數(shù)學(xué)文化包含數(shù)學(xué)歷史，名人事件，數(shù)學(xué)工具和數(shù)學(xué)方法;從廣義上來說數(shù)學(xué)文化除了人文歷史還包括數(shù)學(xué)思想、邏輯、精神、核心素養(yǎng)、教育教學(xué)方式方法、文化自信等方面，即數(shù)學(xué)文化包含與數(shù)學(xué)相關(guān)的一切。

5、結(jié)論與啟發(fā)

通過祖暅原理，可以發(fā)現(xiàn)文化也是課程教育的重要部分，文化以各式各樣的形式存在在課程中。在初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，往往老師就是按照書本的內(nèi)容進(jìn)行講解，運(yùn)用直接灌輸?shù)姆绞剑梢哉f是一種數(shù)學(xué)文化工具型教育，文化的蟬聯(lián)難以顯現(xiàn)。現(xiàn)在，高新型教育系統(tǒng)的出現(xiàn)，再以此方式教學(xué)，學(xué)生難免失去對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。如果老師上課能在數(shù)學(xué)課堂上找到理論的文化歸宿，來源依據(jù)，讓課程遵循歷史文化，社會(huì)文化的禪變，將文化工具賦予邏輯思想，將工具化型文化轉(zhuǎn)變?yōu)樗枷虢逃臀幕⑷谌胝n堂教學(xué)內(nèi)容中，使同學(xué)們了解課程中文化的尺度，文化的自主性和傳承性，增加課堂趣味，同學(xué)們就能對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論和文化產(chǎn)生極大的興趣，不僅能夠使學(xué)生們學(xué)好基本理論，還能增強(qiáng)學(xué)生們的自主創(chuàng)新精神，提高學(xué)生們自身的文化素養(yǎng)。此外，數(shù)學(xué)文化貫穿著生活學(xué)習(xí)中有關(guān)數(shù)學(xué)的一切，如美術(shù)，天文，音樂等，在教學(xué)過程中穿插數(shù)學(xué)文化的介紹與講解，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)理論知識(shí)的過程中，可以深入感受數(shù)學(xué)文化的魅力，傳承數(shù)學(xué)文化的價(jià)值理念，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化的精神。

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