多面體的外接球問題探究

金小保

多面體的外接球的定義是：若一個多面體的各個頂點都在同一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，這個球叫做這個多面體的外接球。另外，球的任何一個截面圓的圓心和球心的連線垂直于這個截面。

多面體的外接球是歷年高考常考的題型之一，縱觀這幾年的高考題，幾乎每年都涉及與球有關的問題，是高考熱點之一，而且以小題考查為主。由于多面體的外接球是空間幾何體的組合問題，需要學生具有較強的空間想象能力和計算能力，才能順利得以解決。但從這么多年的實際教學過程中，學生對這類問題掌握的比較薄弱，認識比較模糊，空間概念不強，不能準確地找到多面體外接球的球心，拿到這類問題不知怎么解決，當然這類問題確實有點難度，但是只要掌握了一些基本方法，想必解決起來就不那么困難了。下面把我這么多年在教學實踐中關于這類問題的解決方案做一些總結和探討，方便教師和學生更好的把握多面體外接球的各類問題解決方案。

1.正方體、長方體的外接球

設長方體的棱長為其體對角線長為.由于長方體的中心即體對角線的中點即為外接球的球心，故球的半徑特別的，當a=b=c時，即為正方體。

2.正四面體的外接球（正方體模型）

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，四面體A-B1CD1即為正四面體，它的外接球即為這個正方體的外接球，所以只要補形成一個正方體即可，這個正方體外接球的球心就是這個正四面體外接球的球心。

3.三組對棱分別相等的三棱錐（長方體模型）

對于這種情況，只要補形成一個長方體即可，此三棱錐的各棱分別是長方體的面對角線。

例1.在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為__________.

解析：如圖，在長方體AEBF-A1CB1D中，三棱錐符合題意，此長方體的外接球就是這個三棱錐的外接球，設AE=a，AF=b ??AA1 =c，則，∴，

∴2R= ，∴，故三棱錐外接球的表面積為。

4.三條側棱互相垂直的三棱錐（長方體模型）

例2.在正三棱錐中，分別是棱的中點，且，若側棱，則正三棱錐外接球的表面積是 ???????。

解析：三棱錐為正棱錐，

對棱互相垂直，

，N分別是棱SC，BC的中點，

，

又而，AM、平面SAC，

平面SAC，即平面SAC，

，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，

，，

三棱錐外接球的表面積為.

5.直棱柱的外接球

直棱柱的外接球的球心在其上下兩個底面多邊形外心連線的中點。以直三棱錐為例，設高為，如圖2，D、D1分別是的外心，O是DD1的中點，因為DA=DB=DC=D1A1=D1B1=D1C1=r（r為的外接圓半徑），所以OA1D1、OB1D1、OC1D1都全等，所以OA=OB=OC=OA1=OB1=OC1=R（R為外接球的半徑），于是借助直角三角形的勾股定理，可求。

6.一條側棱垂直于底面的棱錐的外接球

如下圖，只要補形成相應的直棱柱即可，此棱錐的外接球就是補形后的直棱柱的外接球。

例4. 正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD折疊，使點B與點C間的距離為，則四面體ABCD外接球的表面積為

A. B. C. D.

解析：根據題意可知四面體ABCD的三條側棱、，

底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，

求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，

三棱柱中，底面，，，，

的外接圓的半徑為，

由題意可得：球心到底面的距離為，

球的半徑為

外接球的表面積為：，

7..一般多面體的外接球

對于一般的多面體的外接球，可以利用“球的任何一個截面圓的圓心和球心的連線垂直于這個截面”這個性質來找球心的位置。

通過以上這些模型，我們就能很輕松的求解出關于多面體外接球的相關問題，當然與求相關的立體幾何問題有很多，這里主要介紹了常見的幾種類型，只要平時在學習過程多注意總結，多面體和球自身的幾何性質，想必解決這類問題就不成問題了。