基于Octave的射頻濾波器理論建模與設計

余景原，王子瑋，許國泰

(上海市信息網絡有限公司，上海 200081)

0 引言

作為無線通信系統中必不可少的射頻端組件，射頻帶通濾波器(Bandpass Filter，BPF)[1]的設計開發成為關系到整個射頻端乃至整個無線系統開發成功與否的重要環節。通常對于頻率低于1 GHz的射頻濾波器可以采用基于電感(L)、電容(C)等集總參數元件的歸一化低通濾波器(Lowpass Filter，LPF)作為原型(Prototype)進行設計[1-2]，但由于集總參數元件的頻率限制，對于藍牙[3]、WLAN[4]、WiFi[5]等工作在微波射頻頻段(2.4 GHz)的無線通信系統而言，通常無法使用集總參數原件，而必須使用微帶線、波導等分布參數傳輸線來構造實際濾波器[6]。因此，即使可以使用傳統的濾波器設計理論獲得集總參數原件L和C的理論值，也無法直接用于分布參數射頻帶通濾波器的設計，必須推導分布參數的電路模型。

與集總參數電路不同，在設計分布參數諧振器等電路時使用的主要參數是諧振頻率，諧振器間的耦合系數，以及電路輸入/輸出端口處的外部Q值[1-6]。文章從傳統的基于集總參數濾波器模型出發，建立一個基于各個諧振器的諧振頻率，諧振器間的耦合系數以及外部Q值的射頻濾波器模型。通過推導給出這些分布參數與傳統濾波器設計理論中的歸一化低通原型濾波器參數(L和C)的關系。為了擺脫復雜煩瑣的公式推導，在建模(公式推導)中選用了一種在斯坦福大學的機器學習課程中被推薦的，功能上幾乎等同于Matlab[7-8]的開源免費科學計算軟件Octave[8-9]。歸功于其強大的數值和符號計算功能，有效提高了設計速度和效率。論文在給出基于Octave的具體推導過程的同時，也給出了可用于2.4 GHz無線通信系統的發夾型微帶濾波器的設計實例。通過仿真結果與實測結果的比較來驗證模型以及仿真設計過程的有效性。

1 基于Octave的射頻帶通濾波器的理論建模與綜合設計

1.1 基于集總參數LC的低通原型濾波器

由于射頻帶通濾波器模型需要從傳統的濾波器模型開始推導，首先介紹傳統的基于集總參數LC的歸一化低通原型濾波器。圖1中給出了一個由并聯C開始，串聯L和并聯C交替連接構成的階梯狀電路。在輸入端1-1’接入電源和電源電阻R0，在輸出端2-2’接入負載電阻Rn+1后就可以構成2端口網絡。根據電路理論[1-2]可知，此2端口網絡具有低通頻率特性，我們把這樣的電路作為歸一化低通濾波器的原型電路。其中，把包括輸入輸出端電阻在內的所有電路元件從左到右順次用gi(i=0～n+1) 來表示。其中，gi的值可根據希望實現的濾波器種類來選取。比如，若要實現等波紋(切比雪夫)濾波器，其理論傳遞函數(S21)和理論反射系數(S11)由(1)給出

(1)

(2)

β=ln[coth[0.25·ln(1+ε2)]],γ=sinh[β/(2n)]

(3)

1.2 基于串聯L和K變換器的低通原型濾波器

為了獲得適用于分布參數濾波器設計的模型，作為過渡模型，從圖1的傳統模型開始，繼續推導一種基于串聯L和K變換器的低通原型濾波器。圖2(a)中給出2端口網絡元件K變換器[1-2]的ABCD矩陣。經過簡單的推導可以知道，若在K變換器的端口2處連接負載ZL，在端口1的輸入端所看到的輸入阻抗則為Zin=K2/ZL。因此，若K為實數，ZL為電容性元件，則Zin轉換為等效的電感性元件，反之亦然。即，K變換器可應用于電容性元件和電感性元件之間的等效轉換。圖2(b)中給出了利用串聯電感L和兩個K變換器來等效并聯電容C的等效變換。應用圖2(a)中的等效變換，把圖1中的所有并聯電容用串聯電感L和K變換器替代后，可得到圖3中的基于串聯L和K變換器的低通原型濾波器模型。為了獲取圖3與圖1中的電路模型之間的各元件值之間的對應關系，需要進行公式推導，對于這個煩瑣的過程，借助Octave的符號運算功能[8]。以下給出推導過程。

圖1 基于集總參數LC的階梯狀電路的歸一化低通

(a) K變換器的ABCD矩陣及阻抗變換特性

圖3 基于串聯L和K變換器的低通原型濾波器

%

syms W R0 g0 g1 La1 Z22 Z12 K01 La1 real%定義變量

Y11 = (1/Z22 + j*W*g1)/g0 %計算圖1中的Y11

Y01=1/( K01^2/ (Z12+j*W*La1)*R0) %計算圖3的Y01

eq1 = real( Y11 ) - real( Y01 ) %建立實部方程

eq2 = imag( Y11 ) - imag( Y01 ) %建立虛部方程

[KK01] = solve(eq2 == 0, K01) %求解虛部方程eq2

%

%

syms Y33 Z23 g2 K12 La2 real %定義實數變量

vK01 = KK01(2) %把K01的結果保存在vK01中

ZZ22 = 1/Y33 + j*W*g2 %計算圖1的Z22

ZZ12 = K12^2/(Z23+j*W*La2) %計算圖3的Z12

eq3=real(subs(eq1, {Z22,Z12,K01},{ZZ22,ZZ12,vK01}))

eq4=imag(subs(eq1, {Z22,Z12,K01},{ZZ22,ZZ12,vK01}))

[KK12, ZZ33] = solve(eq3 == 0, eq4 == 0, K12, Z33)

%求解方程組獲得K12和Z33

%

通過相似的推導過程，可以獲得圖3中的低通原型濾波器的K變換器的K值與圖1種的原型低通濾波器的元件值的關系式。

(4)

其中R0，Rn+1，Lai可以任意選擇。這里由于使用Octave進行推導，使得原來煩瑣的推導過程變得非常容易。

1.3 利用頻率變換獲得帶通濾波器理論模型

設計帶通濾波器時，需要通過對低通原型濾波器模型進行頻率變換來獲得帶通濾波器的理論模型。在具體操作上，需對低通原型濾波器的理論特性(1)(2)中的歸一化頻率用以下公式代換[1]。

(5)

由于圖3中僅有串聯L的阻抗與頻率有關，在對原型濾波器進行頻率變換時，僅需要把其中的串聯L替換成串聯LC諧振電路。帶通濾波器的電路圖在圖4中給出，元件值由下式給出：

(6)

1.4 射頻帶通濾波器的理論建模

在1.1中已經指出，由于射頻濾波器的實現需使用分布參數元件，因此為了推導出適合于射頻帶通濾波器的模型，需要把圖4中的集總參數L，C，K轉化成諧振器的諧振頻率f0，諧振器間的耦合系數kij，以及端口處的外部Qe值。

圖4 基于K變換器和串聯LC電路的帶通濾波器

從圖4可知，第i個串聯LC諧振器的電抗參數Xi(ω)可以由下式給出：

(7)

定義如下電抗斜率參數(reactance slope parameter)

(8)

把(8)代入(4)，可以獲得如下的Ki,j計算公式：

(9)

其中R0，Rn+1，χi(i=1,...,n)可以取任意數值。

圖5(a)給出了耦合串聯LC諧振器與K變換器的等效變換，圖5(b)給出了包含K變換器和電源部分的串聯LC諧振器等效電路。把圖5(a)(b)的等效變換應用于圖4的電路，可以獲得圖5(c)的基于諧振頻率f0，外部Qe, 諧振器間的耦合系數kij的帶通濾波器模型。通過簡單推導可獲得以下設計公式：

(10)

以上公式推導都通過Octave完成，由于和前面給出的程序例相似以及篇幅原因，這里不再贅述。

2 設計實例及分析

為了驗證圖5中給出的用Octave導出的射頻帶通濾波器理論模型以及相應公式的正確性，應用這個模型設計了一個用于2.4GHz頻段(藍牙，無線WiFi，車輛警報器系統等通信系統所利用的頻段)[3-5]的帶通濾波器。所設計濾波器的中心頻率為2.45GHz，相對帶寬為11.2%。具體設計步驟如下：

(1)選擇9階切比雪夫函數作為帶通濾波器的理論目標函數。把n = 9代入(2)和(1)，選擇波紋系數=0.107(0.05dB)獲得低通原型濾波器的理論特性。然后應用(5)中給出的頻率變換公式，選擇中心頻率f0=2.45GHz，相對帶款FBW=0.112，便可獲得所需設計的帶通濾波器的理論特性(圖7中的直線)。為了方便讀者，在附錄中給出了基于Octave的帶通濾波器理論特性的計算程序，并給出必要的說明。

圖5 射頻帶通濾波器的建模

(2)使用圖6中給出的微帶發夾型濾波器結構來設計帶通濾波器。由于要實現9階切比雪夫濾波器，需要9個發夾型諧振器，在輸入和輸出端，選用平行耦合線結構。濾波器的等效電路在圖5(c)中給出，所有的諧振器的諧振頻率都設定為濾波器的中心頻率f0=2.45 GHz，輸入端和輸出端的外部Qe值以及第i和i+1個濾波器之間的耦合系數ki,i+1(i= 1，…，8)可由(10)獲得，其中gi(i=0，…，10)需通過(3)獲得(n=9)。

圖6 9階切比雪夫發夾型微帶濾波器的實物圖

(3)選擇介電常數2.2，厚度0.787 mm的基板設計實際的微帶濾波器。根據步驟(2)中所獲得的外部Qe以及耦合系數ki,i+1(i= 1，…，8)，可以獲得濾波器的物理尺寸的初值，然后通過電磁場仿真軟件[9-10]進行優化，從而獲得最終的尺寸。由于軟件仿真優化偏離文章主題以及篇幅的限制，對這一部分的說明予以省略。最后通過蝕刻(etching)工藝實際制作濾波器。圖6中給出了實物照片。然后使用網絡分析儀測量S參數，并在圖7中與理論特性進行比較。

圖7 圖6中的切比雪夫濾波器的理論特性與實測結果的比較

從圖7中可以得到以下結論：(1)實驗結果和理論結果較好地吻合，證明了使用Octave推導出的射頻濾波器模型以及綜合設計公式是有效的。(2)實測結果的帶通特性具有2 dB左右的插入損耗，這主要是由所使用基板的介電材料的損耗以及金屬(銅)損耗而引起的。(3)可以發現實測結果的阻滯特性與理論特性存在一些差異，由于誤差主要發生在-50 dB以下的區域，推測是由于電路的制造誤差以及測量誤差所造成的。另外必須應該指出，由于阻滯特性好于-50 dB，即使和理論特性存在誤差，也完全不影響濾波器的實際使用性能。

3 結語

文章使用與Matlab具有相似功能的免費開源科學計算軟件Octave，推導出適合于設計基于分布參數射頻帶通濾波器的電路模型以及相應的綜合設計公式，給出了基于Octave的詳細推導過程，并附上源程序。為了驗證導出的模型以及綜合公式的有效性，筆者設計了一個9階切比雪夫梳發夾型微帶濾波器，并做了實驗。實驗結果和理論結果吻合得較好，從而證明了推導出的理論模型以及綜合設計方法以及Octave作為計算工具的有效性。

另外，由于Octave的強大功能，使得公式推導以及濾波器的綜合設計過程變得非常方便、快速，大大提高了設計效率，降低開發成本，有效縮短了開發周期。相信Octave可以被廣泛應用于更多的工程設計領域。

附錄：圖7中的切比雪夫濾波器的理論特性的Octave計算程序

%運行以下Octave程序需要安裝GNU Octave以及symbolic package。具體安裝過程請參見參考文獻[8]。

%

pkg load symbolic %加載符號運算模塊

n=9; %設定切比雪夫濾波器的階數

epr=0.10761; %設定波紋系數

ff=-5:0.001:5; %低通原型濾波器的頻率范圍

ww=ff.*(2*pi); %角頻率范圍

Wc=1; %低通原型濾波器的截止角頻率

wc1=2.32*2*pi; wc2 = 2.61*2*pi; %把所設計的帶通濾波器的截止頻率2.32 GHz和2.61 GHz轉化成角頻率

w0=(wc1*wc2)^0.5; %設定中心角頻率(公式(5))

FBW=(wc2-wc1)/w0; %設定相對帶寬(公式(5))

WW=Wc./FBW.*(ww./w0-w0./ww);%LPF->BPF變換公式(公式(5))

Hs=epr*(cos(n*acos(WW))); %濾波器的切比雪夫理論傳遞函數(式(2))

s21_2=(1./(1+(abs(Hs).^2))); s11_2=(1-s21_2); %式(1)

ls21=10.*log10(s21_2); ls11=10.*log10(s11_2); % dB

plot(ff, ls21,ff, ls11); %繪制濾波器的理論曲線

axis([2 3 -60 0]); %x，y軸的范圍設定

title(‘BPF’); %添加圖像標題

xlabel(‘Frequency(Hz)’); %添加x軸標題

ylabel(‘|S21|&|S11|(dB)’); %添加y軸標題

legend(‘S21’,‘S11’); legend(‘Location’,‘northwest’) %設置圖例

set(gca, “fontsize”, 20) %設置字體大小

%