《種群數量變化》中數學模型的應用

洪學青

【摘要】 《2017年版的普通高中生物學課程標準》指出，學科素養是學科育人價值的集中體現，生物學學科核心素養包括生命觀念、科學思維、科學探究和社會責任，其中，科學思維是指尊重事實和證據，崇尚嚴謹和務實的求知態度，運用科學的思維方法認識事物、解決實際問題的思維習慣和能力。在科學研究中，數學模型是發現問題、解決問題和探索規律的有效途徑之一。

【關鍵詞】 數學模型 應用

【中圖分類號】 G633.6

【文獻標識碼】 A

【文章編號】 1992-7711（2020）02-177-020

種群生態學是生態學中最早進行數學描述并成功地運用了數學理論的生物學分支學科，種群數量變化及特征，是直接面對數量的。下面，以《種群數量變化》一節的教學設計為例，談談數學模型如何在生物教學中的運用。

一、教材及學情分析

《種群數量變化》是人教版普通高中課程標準實驗教科書生物必修3第4章第2節。在前面，學生已學了種群的特征，知道種群密度是種群數量的最基本的特征，出生率、死亡率、遷入率、遷出率直接影響種群密度進而改變種群數量，而外界環境通過影響“四率”最終使種群數量變動，通過建構數學模型，可以來描述、解釋、預測種群數量變化的規律。高二的學生，已有一定的數學基礎，有一定的邏輯推理、求解和運算能力，引導學生用數學的方法解釋生命現象，揭示生命活動規律是本節教學策略的著眼點

二、教學目標

1.學生通過合作探究細菌數量變化，能夠嘗試建構種群增長的數學模型并描述變化的規律

2.通過數學建模，學生能夠說明建構種群增長模型的方法

3.通過對模型的不斷修正，學生初步形成尊重事實和證據，嚴謹和務實的求知態度

4.通過分析“J”型和“S”型曲線，學生能夠闡述種群數量增長的種類、成因及特點

5.通過運用數學模型對種群數量變化的預測，學生能對生產生活問題作出理性的解釋和判斷，進而關注人類活動對種群數量變化的影響

三、教學重點和難點

嘗試建構種群增長的數學模型，并據此描述、解釋和預測種群數量的變化

四、教學方法：數學建模方法、導學法、探究法

五、教學過程：

1.創設情境導入

1.1案例：展示PPT圖片——水葫蘆泛濫成災的場面及華南虎的瀕危的現象

1.2問題：為什么有的種群數量在增加，有的種群數量在銳減？種群的數量變化有沒有規律？如何才能探尋種群數量的規律？

2.嘗試建立種群數量變化規律的數學模型

2.1模型準備：播放菌落生長的視頻及模擬一個細菌繁殖的動畫，引導學生觀察并思考：細菌的數量變化有何規律？

2.2模型的假設：

2.2.1在資源和空間無限多的環境中，細菌種群的增長不會受種群密度增加的影響

2.2.2細菌種群的起始數量為N1（1）個

2.2.3細菌，在適宜的溫度，濕度等條件下，每20分鐘可繁殖一代。

2.3問題的提出：t代后細菌的數量N為多少？

2.4.模型建構：學生以4人為一組，小組合作探究：

2.4.1計算每一代細菌數量，并填寫表格

2.4.2根據表格的數據，嘗試用數學公式表示t代

后細菌的數量Nt=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

2.4.3根據表格中的數據，嘗試在圖一坐標圖（圖一）

上繪制出細菌種群數量隨時間變化的曲線

2.4.4、請說說構建數學模型有哪些步驟？

2.5、對細菌種群變化的數學模型進行修正

2.5.1、第一次修正：

※、假設——細菌實際種群中，起點數不是一個，而是有多個（N0>1）時，以上公式應修正為：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

2.5.2、第二次修正：

※、假設——該細菌種群的增長率為100%，以上公式若要用增長率表示，應修正為：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

2.5.3第三次修正：

※、假設——其他生物種群的增長率不是100%，而是a時，那么以上公式又修正為：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

2.5.4第四次修正：

由于種群增長率a=出生率-死亡率，所以，a值有兩種可能：不變（理想狀態）或改變（自然情況）。以N，=N。（1+a）為基礎，再次進行修正，實現數學模型的轉換。

※、假設——在食物和空間條件充裕、氣候適宜、沒有敵害等理想條件下，種群的增長率不會受種群密度增加的影響。

※、那么種群增長率a值不變，請你嘗試用數學公式表示下列問題：

（1）種群數量以一定倍數（λ）增長，第二年是第一年的λ=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .倍。

（2）一年后該種群的數量應為N1=? ? ? ? ? ? ? ? （3）兩年后該種群的數量應為N2=? ? ? ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ? ? （4）t年后該種群的數量應為Nt=

※、請你嘗試在圖二繪制出種群數量隨時間變化的曲線

※、請你根據圖二曲線，描述該種群的數量變化規律

※、請你談談“J”型增長的形成原因、特點

2.5.5第五次修正：

※、假設——在氣候、食物、天敵、傳染病以及受人類活動的影響等條件下，出生率和死亡率在不斷地變化，種群的增長受種群密度增加的影響。

※、那么，種群增長率a值也不斷地變化，請分析討論以下情形：

（1）當a>0，λ雖然不斷變小，但還是λ? ? ? ? ? ? 1（填>、<或=），種群數量

（2）當a=0、λ? ? ? ? ? ? 1（填>、<或=），種群數量? ? ? ? ? ? ，達到最大值（k值）

※、請你嘗試在圖二上繪制出a值改變時的種群數量隨時間變化的曲線

※、結合繪制的曲線，請你描述該種群的數量變化規律

※、請你談談“S”型增長的形成原因、特點

※、結合繪制的曲線，談談同一時間上，為何“S”型增長曲線上的種群數量比“J”型增長曲線上的少？

2.5.6第六次修正

※、假設——食物和空間條有限、在氣候、食物、天敵、傳染病等外界影響的條件下，種群的增長受種群密度增加的影響。

（3）當種群增長率a<0、λ? ? ? ? ? ? 1（填>、<或=）時，種群數量? ? ? ? ? ? .

※、請你嘗試在繼續圖二上繪制出a值改變時的種群數量隨時間變化的曲線

※、結合繪制的曲線，請你描述該種群的數量變化規律

※、請你談談該曲線形成的直接原因與根本原因

2.5.7小結

※、種群數量變化的類型有增長、波動、下降、消亡

※、引起種群數量變化的外因有：氣候、食物、疾病、天敵等自然因素和人類活動的影響

※、引起種群數量變化的內因是：出生率、死亡率、遷出率、遷入率的變化

3.1填出種群數量增長的“J”型增長曲線和“S”型增長曲線的比較表

3.2“S”型增長曲線中，K值的成因是什么？同一種群的K值是固定不變的嗎？理由是？

3.3、“S”型增長曲線中，何時的增長速率最大？

4.種群數量變化的數學模型的運用

4.1請你運用“J”型增長曲線解釋水葫蘆泛濫的原因

4.2漁民經常被這樣的問題所困擾：不捕撈或者捕撈很少，魚類資源得不到充分利用，捕撈過多，又會造成魚類資源的枯竭，那應當捕撈多少才合適呢？什么時候捕撈才是最好的呢？

4.3牧民在承包的草場上該放養多少頭羊，既能保護草原，又能取得最好經濟效益？

4.4從K值角度思考，請你談談保護大熊貓的措施有哪些？

4.5在害蟲種群密度達到多少時噴灑農藥，既能減少環境污染，又能防止蟲災發生？

4.6運用“S”型曲線，請你談談如何對家鼠進行有效控制。

6.教學反思

本節循著現象→本質→現象的思路，通過分析問題→探究數學規律→解決實際問題→建構數學模型的方法，讓學生體驗到由具體到抽象的思維轉化，有利于培養學生透過現象揭示本質的洞察力，同時，通過科學與數學的整合，有利于培養學生簡約、嚴密的思維品質。

教學中緊扣數學模型的描述、解釋、預測的功能，引導學生運用數學模型解決實際問題，既讓學生認同學科間的聯系，又培養學生解決生產生活問題的擔當和能力。

再者，教學中，通過對數學模型的不斷的修正，使學生體悟到合理提出假設是數學模型成立的前提，假設不同所建立的數學模型也不相同，學生初步形成尊重事實和證據，嚴謹和務實的求知態度，有利于學生嚴謹的科學思維的發展。

在教學中也發現，高二學生雖然具備了一定的數學知識，但在模型的不斷修正中仍感覺有些困難，特別是對于增長率與增長倍數的轉換，教師應從出生率與死亡率入手進行引導。