巧用“旋轉變換”添加輔助線

馬猛

【摘要】平面幾何輔助線的添加是學生學習中的難點，利用旋轉變換思想添加輔助線學生更是不易掌握，本文通過幾個例題總結利用旋轉變換思想添加輔助線的規律和技巧。

【關鍵詞】旋轉變換? ?輔助線? ?轉化

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）20-126-02

平面幾何的輔助線添加對學生來說一直是不易突破的難點，恰當的輔助線添加往往可使一道不易解決的問題突然柳暗花明，對復雜的幾何問題往往起到撥云見日的效果。而輔助線的添加 又常具有一定的規律性和技巧性，下面就從利用旋轉思想添加輔助線加以總結。

知識基礎

旋轉定義：一個圖形繞一個定點（旋轉中心），沿一個方向（順時針或逆時針），旋轉一定的角度（旋轉角）。

旋轉性質：

1.旋轉前后的兩個圖形全等。（對應邊相等，對應角相等）

2.旋轉前后的對應頂點到旋轉中心的距離相等。

3.對應點和旋轉中心的連線夾角相等。（都等于旋轉角）

題型一? ?等邊三角形中的“旋轉”

例? 已知：如圖，點P是正三角形△ABC內一點，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點A順時針旋轉后得△P'AB.

（1）求點P、P'之間的距離

（2）求∠APB的度數

分析：問題中已告知△PAC與△P'AB是旋轉前后的對應圖形，因而具備旋轉的性質，只需連接點P、P'，即可利用旋轉的性質解得。

解：（1）連接點P、P'

由題意可知 △PAC≌△P'AB

易得∠P'AP =∠BAC=60°

∵P'A=PA? ? ? ? ? ? ∴△P'AP為等邊三角形

∴P'P =P'A=PA=6

（2）在△P'PB中，P'P =6，P'B=PC=10，BP=8

∴P'P2+BP2=P'B2? ? ? ? ? ∴△P'PB為Rt△，

∴∠P'PB=90°

由（1）知 ∠P'PA=60°

∴∠APB=150°

歸納：本題的圖形經過旋轉，三條原本比較分散的已知線段得到集中，產生了特殊的等邊三角形和直角三角形，從而問題得解。

變式：（2019 巴中）如圖 ，等邊三角形△ABC內有一點P，分別連接AP、BP、CP，若PA=6，BP=8，CP=10，求S△ABP+S△BPC的值。

分析：三角形求面積，常規的方法是須知道三角形的底和底上的高的值，利用三角形面積公式進行計算。但此問題中兩個需要求面積的三角形雖知道一邊長，但無法求出此邊上的高。題目中線段6，8，10雖是熟悉的勾股數，但線段分散，無法建立直角三角形，可通過旋轉，使三條線段進行集中，把要求的兩個普通三角形轉化為特殊的圖形面積進行計算。

解：∵等邊三角形△ABC

將△BPC以點B為旋轉中心，逆時針旋轉60°，使BC與BA重合，點P旋轉到點P'處（如圖）

連接點P、P'

由旋轉可知，P'B=PB=8? ，P'A=PC=10

∠P'BP =∠ABC=60° ∴△P'BP為等邊三角形

∴P'P =P'B=BP=8

在△P'PA中，P'P =8，P'A=10，PA=6

∴P'P2+AP2=P'A2? ? ? ? ? ? ? ∴△P'PA為Rt△

S△ABP+S△BPC=S△ABP+S△BP'A

=S△P'BP+S△P'PA=16? 3+24

歸納：本題方法思路與上個例題十分接近，通過旋轉變換，把兩個普通的三角形面積轉化為特殊的三角形面積進行計算，不再贅述。

類型二? ?正方形中的“旋轉”

例 已知：如圖? 正方形ABCD，E為BC邊上一點，F為CD邊上一點，且∠EAF=45°.

求證：EF=BE+DF

分析：題目求三條線段間的和差關系，但三條線段比較分散，需通過恰當的添加輔助線，把線段集中，把不易證明的多條線段和差關系轉化為常規的線段相等關系，即把線段BE、DF集中成為一條線段即可。

證明：∵正方形ABCD

將△ADF繞點A順時針旋轉90°，使AD與AB 重合，點F的對應點為點F'，如圖

由旋轉可知，DF=BF'，

AF=AF'，

∠ABF'=∠ADF =∠ABC= 90°

∴點F'、B、E在一條直線上

∠BAF'=∠DAF

又∵∠EAF=45°

∴∠BAE+∠DAF=45°

∴∠EAF'=∠BAE+∠BAF'=45°

∴∠EAF'=∠EAF

又∵AE=AE， AF'=AF

∴△EAF≌△EAF'

∴EF=EF'

∵EF'=BE+ BF'=BE+DF

∴EF=BE+DF

變式：已知： 如圖? 正方形ABCD，M為BC邊上任一點，AN平分∠DAM，交CD邊于點N.

求證：AM=BM+DN

分析：與上面例題類似，我們可以通過恰當的圖形變換，將線段BM、DN進行集中，把線段的和差關系轉化為線段的相等關系。

證明：∵正方形ABCD

將△ABM繞點A逆時針旋轉90°，使AB與AD 重合，點M的對應點為點M'，如圖

由旋轉可知，

BM=DM'， AM=AM'， ∠DAM'=∠BAM，

∠ADM'=∠ABM =∠ADC= 90°，

∴點M'、D、N在一條直線上

∵AN平分∠DAM

∴∠DAN=∠MAN

∴∠DAM'+∠DAN =∠BAM+∠MAN

即∠M'AN=∠BAN

又∵AB∥CD

∴∠BAN=∠M'NA

∴∠M'AN=∠M'NA

∴M'A=M'N

又∵M'N= M'D+DN=BM+DN

∴AM= M'A=M'N=BM+DN

歸納：在正方形中證明線段的和差關系，且線段比較分散，可以借助旋轉變換，將線段改變位置，從而把多條線段的關系轉化為常見的線段相等關系來證明。

題型三? ?多邊形中的“旋轉”

例 已知：如圖 五邊形ABCDE中，∠ABC =∠AED= 90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，求S五邊形ABCDE.

分析：題目中圖形為不常見的不規則五邊形，其面積沒有固定可用的公式計算，需要轉化為有面積公式可用的規則圖形面積進行計算。且題目所給的條件AB=CD=AE=BC+DE=2中，由于線段BC、DE較分散，不便于應用BC+DE=2，因而需要把線段BC、DE進行集中，最好轉化為一條線段以便應用。

解：如圖? 連接AC、AD，

∵AB=AE

將△ABC繞點A順時針旋轉，使AB與AE 重合，點C的對應點為點C'，如圖

由旋轉可知，BC=EC'， AC=AC'，

∠BAC=∠EAC'，∠AEC'=∠ABC

=∠AED= 90°，

∴點C'、E、D在一條直線上

∵AB=CD=AE=BC+DE=2

DC'=DE+ EC'=DE+BC=2

∴S△DAC'=? ? ·DC'·AE=2

又∵AD=AD'，AC= AC'，CD= DC'

∴△DAC≌△DAC'

∴S△DAC= S△DAC'=2

∴S五邊形ABCDE= S△BAC+ S△DAC+ S△DAE

= S△EAC'+ S△DAC+ S△DAE

=S△DAC+S△DAC'=4

歸納：本題通過旋轉變換，將不規則的五邊形面積轉化為易求面積的兩個全等三角形面積進行計算。

總結：1.通過變換題目條件或圖形，使條件或結論發生轉化，是解決問題的一個常見思路，旋轉變換的使用往往能起到關鍵作用。

2.旋轉變換是添加輔助線改造原圖形的一個啟發，有一定的規律性，往往通過選擇有公共頂點的相等線段作為旋轉前后的對應邊。

3.旋轉的目的經常是使分散的條件更加集中。

4.在等腰直角三角形、等邊三角形、正方形等特殊的圖形中更常使用旋轉變換方法解決問題。

【參考文獻】

[1]《平面幾何旋轉變換解題方法》郭琦如 2001年9月《貴州師范學院學報》.

[2]《中外數學競賽集錦》劉鴻坤.沈陽教育出版社.1988 .