淺談整體視角下分數概念教學

周曉婷

數學概念是客觀現實中的數量關系和空間形式的本質屬性在人腦中的反映。分數概念內涵豐富，抽象性高，是小學階段極其重要的概念。因此，人教版教材分兩個階段：三年級認識“一個物體”的幾分之幾，五年級認識“一些物體”的幾分之幾。從教材來看，實現了概念的逐層遞進、螺旋上升，但在教學中，常常囿于教材內容與課時目標進行節點性教學，容易導致分數概念理解的短視與偏差。筆者認為，只有從整體視角下去解讀教材，分解概念認識的階段，才能讓學生更全面、更深入地掌握概念的本質。

整體解讀教材，統籌規劃教學

把握結構，準確定位 現行的數學教材是按數學知識的邏輯結構，螺旋上升編排的。知識的多次再現，相互溝通內在聯系，使學生對所學的知識有更深刻的理解。因此，教師在教學新知前，要有瞻前顧后的意識，明確新知在整個知識體系中的位置與作用，教學時才能做到有的放矢。

人教版教材小學階段的分數概念分為兩個認識階段。第一個認識階段安排在三年級，進行分數的初步認識，是一個物體與部分的關系。也就是把一個物體看作單位“1”，把一個物體平均分成幾份，其中一份是這個物體的幾分之一，一個物體也就是一個具體意義上的單位“1”的概念。這一階段的教學定位，必須讓學生在實際操作活動的過程中，了解分數形成的過程，理解分數表示的是一個物體與部分的關系，從而初步理解分數的概念。第二個認識階段安排在五年級，進行分數的再認識，是一個整體與部分的關系。也就是把多個物體看作一個抽象整體，把這個抽象整體平均分成幾份，其中一份是這個抽象整體的幾分之一，一個整體就是一個抽象意義上的單位“1”的概念。這一階段的教學定位，在分數初步認識的基礎上，理解多個物體組成的整體與部分之間的關系也能用分數表示，豐富單位“1”的內涵，全面地理解分數的意義。

區別對待，有效實施 分數概念的教學是從初步認識到再認識的合理安排和循環遞進，由于一個物體的分數認識與一個整體的分數認識具有結構類同的關系存在，應以一個物體的分數認識為教學結構階段，以一個整體的分數認識為運用結構階段。

一個物體的分數認識教學結構階段，教師可從1/2這個分數著手，提供給學生一些豐富材料（包括現實材料和幾何圖形材料）表示分數。教師要引導學生對表示情況進行不同標準的分類，深刻地理解二分之一的意義。接著讓學生認識幾分之一、幾分之幾，最后總結一個物體的分數意義。讓學生經歷“辨析比較，理解二分之一——拓展分數，抽取本質——歸納概括，總結概念”的分數概念形成過程。在最后的練習階段，加入“以幾當一或以一當幾”的材料，加深意義理解，把握概念本質。

一個整體的分數認識運用階段，可以讓學生運用這樣的過程結構主動建構一個整體的分數認識。教師可以讓學生在多個物體的材料中表示分數，利用學生對一個物體分數的認識，展示多樣化的分法，體驗在一個整體中表示分數，然后與一個整體的分數認識進行比較，找出異同點，理解分數意義。過程中，不僅可以培養學生材料處理和辨析比較的能力，還可以培養學生形成發現相同材料中隱藏著各自不同特點的數學眼光，更可以培養學生透過表面現象發現本質屬性的抽象能力，從而理解分數意義。

找準關鍵點，適時前伸后延

數學學習具有累積性，后一階段的學習是建立在學生已有知識和經驗的基礎上的，是對前一階段知識與經驗的的深化與發展。教學時要根據知識的前后聯系，縱橫發展來找準知識的關鍵點，為使學生的后續有較大的發展。

著力連接點 真正建立分數概念，需要學生學習一個物體的幾分之一時，從“幾分之一個”抽象到“它的幾分之一”，初步體會分數表示關系的內涵。學習多個物體組成的一個整體的幾分之一時，需要激活這些經驗以同化新知。教學中應找準兩個階段學習中同化知識的關鍵點，即突出“幾份中的一份”這一本質關系，逐步舍棄“物體的個數”這一非本質屬性，分數表示的是平均分的份數與取的份數，也就是整體與部分的關系。

在認識分數的第一階段，通過變式練習進行后延，讓學生逐步舍棄“以一當一”的想法，真正從單個整體平均分的份數和取的份數體會分數是表示關系的，為多個物體表示分數奠定基礎。如題組：涂色分別表示兩個長方形的3/7（一個長方形平均分成了14份、一個長方形平均分成7份），讓學生體會分數是和平均分的份數和取的份數有關，和每份的個數是無關的。

在認識分數的第二階段，充分利用學生對分數已有的知識基礎自主建構學習。知識的前伸，使單位“1”自然從一個物體過渡到一個整體，突破教學難點。先用不同平均分的方法表示出不同的分數。然后把16個小正方形動態散開，并把它們看成一個整體（畫上一個集合圈），再請學生平均分一分，表示出一個分數。（如下圖1），最后把前后兩張圖所表示出的分數進行異同比較，概括出分數的概念。

與此同時，我們發現教材中呈現的平均分素材，總是從左往右或從上往下進行平均分，這樣編排往往給學生帶來了負面的認知影響，對概念認識產生認知偏差。接著出現下圖2，許多學生都認為這不可以用分數來表示。他們認為沒有平均分怎么能用分數表示呢？通過電腦演示，將右側三個小正方體旋轉平放在最上面，學生看到此圖后立刻明白，可以用分數表示。經過這樣的學習過程，剔除了一些對概念認知的無關干擾，凸顯了平均分的本質。通過科學且全面的素材，并用多樣化的方式呈現出來，才能使得概念的意象更豐盈，學生更為深刻地把握概念本質。

關注教學過程，注重概念解讀

概念是通過分析和綜合、求同和求異、抽象和概括等一系列的思維活動形成的。有時學生在接受數學概念時，由于操作形式化、提問膚淺化、素材單一化，造成學生只是鸚鵡學舌地說某個分數的意義，而并非是基于自己的理解。教學中應注意以下三個方面：

改變操作順序，經歷概念形成 通過不同材料表示出1/2的操作，再抽象出二分之一的意義。這樣操作的本質是為抽象的分數尋找一個具體的表象，對學生來說思維順序是反的，我們必須讓學生經歷概念形成的過程。因此在第一階段教學中，抓住1/2這個分數重點認識，可以先讓學生把各種材料分成2份，表示1份，然后把材料按是否平均分分類，從平均分這類中概括共性，接著說說1/2的意義，最后從生活中找1/2的原型，進一步理解1/2的意義。

改變提問方式，幫助概念建立 在思維的轉折處和關鍵處設問，能夠引導學生研究、討論，積極思維，才能使學生深刻理解概念的內涵，抓住本質特征。在第二階段教學中，要讓學生更多地說自己抽象出分數的過程，減少關注結果的提問。如：“你是如何表示這幅圖的1/4的？”這樣的提問方式和教材上的練習材料是同質的，關注的都是結果。教師可以這樣問：“為什么不同的圖都可以用1/4來表示？”“要知道這個圖表示幾分之幾，需要哪幾個條件？”總之提問的方式應更多關注意義的本身和學生的思維過程，而不是答案。

改變素材呈現，促進概念理解 數學概念的學習過程包括概念的應用，這就需要學生在初步理解概念的基礎上，利用多樣化的素材，運用習得的知識解決相應的問題，使概念得以鞏固和內化，從而更深對概念的理解。

第一階段分數的初步認識教學中，不僅要把分數與幾何圖形建立聯系，更要注意與生活聯系，拓展學生的視野和思維，使學生對概念的內涵有充分的認識和體驗。如1瓶果汁平均分給5個小朋友的關系，1個吊扇與3片葉片的關系，1扇窗子與其中4塊玻璃的關系等等。

第二階段分數意義教學中，不能僅僅停留具體情境下對分數意義的詮釋，更應為學生后續有關分數的學習作好鋪墊。如借助小棒進行如下活動。

活動1：看小棒（四行三列）寫分數。引導思考“你看出分數來了嗎”，讓學生寫出相等的不同分數，討論“你是怎樣想的”“這些分數都是正確的，它們的意義一樣不一樣”，進一步加深分數的理解；

活動2：按老師的要求分別拿出12根小棒的1/3、1/（）、（）/6，通過“分母沒有出來的時候，能拿嗎？”“分母是6，我們可以做什么？”等問題，讓學生進一步理解分母、分子所表示含義，促進對意義的理解；

活動3：拿另一捆小棒的1/4，由于學生手中的小棒根數是不同，拿出的根數也不同，請學生尋找原因。讓學生理解“一個整體”的變化，不同的數量可以用同一個分數表示，進一步深化分數表示了整體與部分的關系，與每份的數量無關。

數學特級教師俞正強說：“當學生的數學學習發生困難時，回到源頭去。一定是在某個時候，我們曾經省略了一段陽光。” 這段被省略的“陽光”，應該就是知識的“序”與學生認知的“序”之間的連接點。作為教師用長程的整體視角去解讀概念認知的結構，建立教學整體性觀念，打通節點性課堂教學與整體性知識脈絡聯系，實現概念內涵的深入化，概念外延的有向放大化。

（作者單位：浙江省杭州市半山實驗小學）