關于留數定理的教學設計與實踐

徐彬

摘要：留數定理是留數理論的基礎，它為某些類型積分的計算提供了極為有效的方法，是教學中的重點也是難點。本文從定理的引入、定理的理解、定理的應用三個方面對留數定理的教學設計進行探討，并在教學中付諸實踐，旨在充分調動學生學習的積極性，引導學生理解定理內涵，達到學以致用的目的。

關鍵詞：留數定理;教學設計;教學實踐

留數定理是《復變函數與積分變換》課程中非常重要的一個定理，是教學中的重點也是難點。留數定理是留數理論的基礎，柯西-古薩定理、柯西積分公式都是留數定理的特殊情況。應用留數定理可以把計算沿閉曲線的積分轉化為計算在孤立奇點處的留數，應用留數定理還可以計算一些定積分和廣義積分，其中有些積分，在高等數學中已經計算過，但計算時比較復雜，用留數理論可以在分類后作統一處理，所以留數定理在作理論探討與實際應用中都具有重要意義。

本文結合筆者自身的教學實踐，不斷總結多次教學中的優缺點，從定理的引入、定理的理解、定理的應用三個方面探索留數定理的教學方法，幫助學生更好地理解這部分內容，達到靈活應用的目的。

1關于留數定理的引入

學生在之前的學習過程中已經掌握了一些求復積分的方法，如：參數方程法、牛頓-萊布尼茲公式、柯西-古薩定理、柯西積分公式、高階導數公式、復合閉路定理等，這些方法可以解決一些復積分的求解問題，但是遇到下面的問題，以上方法就沒辦法解決了。

例1：計算

在教學的過程中，可以先給出例1，采用啟發式教學，請同學們先思考這個積分如何去求解，用之前學習過的求解復積分的方法是否可以解決，學生通過積極思考發現這個問題用學過的方法沒辦法解決，這個時候可以告訴同學們將學習一種新的方法解決以上問題。接下來的教學環節，逐步引入留數的定義、留數定理以及用留數定理具體計算積分，學生帶著問題去學習新內容有助于激發學生的學習興趣，更好的理解定理的內容和應用。

2留數及留數定理

定義1 如果z₀是f（z）的孤立奇點，函數f（z）在區域0<|z-z₀|0