動力學系統的同步問題及其控制器設計研究

許思遙 于懿 陳宇

摘 要 混沌系統作為一類特殊的動力學系統，它的同步問題在工程技術、生物學等領域受到極大重視。基于此，我們對Genesio混沌系統的同步問題進行研究。我們考慮Genesio系統在參數已知及參數未知情況下的同步控制器設計，然后通過 Lyapunov 穩定性分析使得所設計的控制器保證閉環系統的所有信號漸近穩定。最后我們通過 Matlab/Simulink 仿真實驗驗證所設計出的控制方法是有效的。

關鍵詞 混沌系統;控制器;微分方程;同步

引言

混沌是指確定性動力學系統因對初值敏感而表現出的不可預測的、隨機性運動[1-3]。混沌同步，從總體上說，屬于混沌控制的范疇，它是指兩個混沌系統在耦合作用下使其混沌運動達到一致的過程。許多混沌控制方法可以應用于混沌同步，反之亦然。1990年，美國海軍實驗室的L. M.Pecora和T. L. Carrol提出混沌自同步方法，首次利用驅動-響應法實現了兩個混沌系統同步，從而拉開了混沌同步方法研究與應用的序幕[4-5]。混沌系統的同步問題在信息技術、保密通信等眾多領域具有廣泛的應用背景，從而受到了學者的廣泛關注[6-8]。

正是由于這些原因，我們對Genesio混沌系統的同步問題進行研究，首先考慮Genesio系統在參數已知及參數未知情況下的同步控制器設計，然后通過Lyapunov穩定性分析使得所設計的控制器保證閉環系統的所有信號漸近穩定。最后，我們利用 Matlab/Simulink 仿真實驗驗證所設計出的控制方法是有效的。

1主要內容

本文主要研究一類混沌系統，其系統名稱為Genesio系統，表達式如下：

其中a=6，b=2.92，c=1.2，系統混沌。

1.1 參數已知時Genesio系統的同步控制器設計

將兩個初值不同的Genesio系統表示為驅動系統S1和響應系統S2：

（2-1）

（2-2）

其中u1，u2，u3為控制信號。

定義偏差

（2-3）

得到如下系統誤差，

（2-4）

構造Lyapunov函數

（2-5）

其導數為

（2-6）

構造控制器：

（2-7）

將式（2-4）和式（2-7）代入式（2-6）得

（2-8）

此時滿足條件：

（2-9）

根據Lyapunov穩定性理論，有

（2-10）

即加入控制信號后，驅動系統和響應系統可以有效地同步。

1.2 參數未知時Genesio系統的同步控制器設計

考慮驅動系統的參數已知，而響應系統的參數未知的情況。則驅動系統和響應系統寫為

（2-11）

（2-12）

其中a1=6，b1=2.92，c1=1.2，a2，b2，c2未知。

定義偏差：

（2-13）

得到如下系統誤差，

（2-14）

構造Lyapunov函數

（2-15）

其導數為

（2-16）

構造控制器

（2-17）

有m1>0，m2>0，m3>0。參數的自適應律為

（2-18）

將式（2-14）、式（2-17）和式（2-18）帶入式（2-16）得

（2-19）

選取任意m1>0，m2>0，m3>-c1，m4，m5，m6>0則有

（2-20）

取m1=10，m2=10，m3=5，m4=m5=m6=1。

根據Lyapunov穩定性理論，系統誤差（2-13）接近穩定，驅動系統和響應系統可以有效地同步。

1.3 Matlab仿真實驗

（1）參數已知的Genesio系統

設驅動系統初始值為（x1，y1，z1）=（0.2，0.1，-0.2），響應系統初始值為（x2，y2，z2）=（0.5，0.3，-0.4）。仿真結果如圖1所示：

根據仿真曲線我們看到，參數已知的兩個Genesio系統的誤差趨近于0，這表明所設計的控制器可以使參數已知的兩個Genesio系統實現同步。

（2）參數未知的Genesio系統

設驅動系統初始值為（x1，y1，z1）=（0.2，0.1，-0.2），響應系統初始值為（x2，y2，z2）=（0.5，0.3，-0.4）。響應系統未知參數估計的初始值為（a2，b2，c2）=（1，1，3）。仿真結果如圖2：

根據仿真曲線我們看到參數未知的兩個Genesio系統誤差趨近于0，這表明所設計的控制器可以使參數未知的兩個Genesio系統實現同步。

2結論及展望

本文討論了Genesio系統的同步及其控制器的設計問題，將混沌系統的同步化問題轉化為混沌同步誤差系統的穩定性問題，根據Lyapunov穩定性判據設計出同步控制器。目前我們只對Genesio系統進行了相關控制器設計，接下來我們還會在更多混沌系統上進行相關控制器設計。

參考文獻

[1] 陳關榮，呂金虎.Lorenz系統族的動力學分析、控制與同步[M].北京：科學出版社，2003：52.

[2] 方錦清.駕馭混沌與發展高新技術[M].北京：原子能出版社，2002：29.

[3] 王興遠.復雜非線性系統中的混沌[M].北京：電子工業出版社， 2004：76.

[4] 李飛飛.混沌同步方法及應用研究[D].南京：南京航天航空大學，2007.

[5] 張學義.混沌同步及其在同心中的應用研究[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學，2001，

[6] Lorenz E N.Deterministic nonperodic flow[J].Journal of the Atmospheric Sciences，1963，20（2）：130-141.

[7] D. Ruelle，F. Takes.On the nature pf turbulence[J].Communications in Mathematical Physics，1971，20（1）：167-192.

[8] Li T Y，Yorke J A.Period three implies chaos[J].The American Mathematical Monthly，1975，82（10）：985-992.

作者簡介

許思遙，女，華東理工大學數學系本科生。

于懿，女，華東理工大學數學系本科生。

陳宇，男，華東理工大學數學系本科生。