利用GeoGebra對(duì)一道高考題的深度探究*

朱陽帆 (江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué) 212200)

1 問題的提出

原題(2018全國卷Ⅱ理19)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，|AB|=8．

(1)求l的方程；

(2)求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．

解(1)y=x-1(過程略)．

這題是高三二輪復(fù)習(xí)時(shí)的一道練習(xí)題，大部分學(xué)生的答案少一解，課后交流了解到學(xué)生潛意識(shí)里認(rèn)為滿足題目中所給條件的圓只有一個(gè)．在分析學(xué)生錯(cuò)因的同時(shí)，筆者想到這樣一個(gè)問題：

探究1平面內(nèi)有一條定直線l，有A,B兩點(diǎn)在定直線l同側(cè)，A,B兩點(diǎn)的連線與l不平行，那么過A,B兩點(diǎn)且與直線相切的圓有幾個(gè)？

GeoGebra作為一款融幾何、代數(shù)和微積分等于一體的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)學(xué)科軟件，能夠深入數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部，展現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象間嚴(yán)格的數(shù)量關(guān)系和幾何關(guān)系、運(yùn)動(dòng)與變化中的數(shù)學(xué)規(guī)律，特別適合對(duì)解析幾何問題進(jìn)行探究．[1]下面筆者展示利用GeoGebra探究這道高考題的過程．

2 探究過程

筆者用GeoGebra對(duì)探究1進(jìn)行了探究：根據(jù)題目要求在平面內(nèi)作出直線l和A,B兩點(diǎn)，利用切線工具和圓工具，作出了如圖1所示的兩個(gè)圓，可得如下結(jié)論：

圖1 圖2

圖1結(jié)論：當(dāng)AB兩點(diǎn)的連線與直線l不垂直也不平行時(shí)，一定能做出兩個(gè)半徑不一樣的圓過AB兩點(diǎn)且與l相切．

通過對(duì)問題1的探究，筆者得出此高考題的題源來自于圖1結(jié)論：過一條直線外同側(cè)的A,B兩點(diǎn)(A,B兩點(diǎn)的連線與l不平行)且與l相切的圓有兩個(gè)．這是利用GeoGebra探究觀察得到的，如何對(duì)它進(jìn)行證明呢？經(jīng)過思考，筆者用GeoGebra進(jìn)行了如下操作(圖2)：(1)作直線AB交直線l于點(diǎn)P，找到PA的中點(diǎn)M，以M為圓心、MP為半徑作圓M； (2)過點(diǎn)B作PA的垂線交圓M于 點(diǎn)C，連結(jié)PC；(3)以P為圓心、PC為半徑作圓P交直線l于點(diǎn)D,E，分別過點(diǎn)D,E作直線l的垂線，交線段AB的垂直平分線于點(diǎn)F,G；(4)分別以點(diǎn)F,G為圓心，F(xiàn)A,GA為半徑作圓．

筆者把兩個(gè)所求圓用紅色標(biāo)記出，這兩個(gè)所求圓是用GeoGebra的各種幾何工具所作得，和圖1的直接作法完全不同．通過GeoGebra產(chǎn)生的圖2驗(yàn)證了筆者的想法．現(xiàn)在給出其幾何證明：

因?yàn)椤鱌BC∽△PCA，所以PC2=PA·PB．又因?yàn)镻C=PD，所以PD2=PA·PB． 由切割線定理，點(diǎn)P為圓F外一點(diǎn)，PD與圓F相切，AB為圓F的弦，則圓F為過點(diǎn)A,B,且與直線l相切的圓.同理可證，圓G為過點(diǎn)A,B，且與直線l相切的圓．

筆者在探究探究1的過程中也產(chǎn)生了圖3～圖5，我們得出以下結(jié)論：

圖3 圖4 圖5

圖3結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)A,B的連線與l垂直時(shí)，可作兩個(gè)半徑相等的圓過A,B兩點(diǎn)且與l相切．圖4結(jié)論：當(dāng)l固定，AB兩點(diǎn)間的距離變大時(shí)，兩圓的半徑也相應(yīng)變化．圖5結(jié)論：當(dāng)A,B兩點(diǎn)距離固定，直線l的斜率變化時(shí)，兩圓的半徑也相應(yīng)變化．

筆者根據(jù)圖3～5聯(lián)想到了第二個(gè)問題：

探究2在此題的背景下，當(dāng)直線斜率變化時(shí)，兩圓半徑的變化規(guī)律和直線斜率有關(guān)嗎？

圖6

接下來筆者用GeoGebra做出對(duì)探究2的探究(圖6)：變化直線l的斜率時(shí)，在代數(shù)區(qū)發(fā)現(xiàn)兩圓半徑隨著斜率變化而變化．結(jié)合圖6的動(dòng)態(tài)過程，猜想：直線斜率與兩圓半徑之間可能呈現(xiàn)一種函數(shù)關(guān)系，此函數(shù)如果以直線斜率k為自變量，那么可能是關(guān)于k偶函數(shù)．筆者先嘗試用代數(shù)證明．

圖7 圖8

3 探究總結(jié)與展望

圖9

(1)探究總結(jié).筆者的探究思路如圖9所示．本次探究利用了GeoGebra各方面強(qiáng)大的功能，得出了一道高考題命題的幾何背景以及一個(gè)與拋物線相關(guān)的小結(jié)論．

(2)探究展望.數(shù)學(xué)問題的探究無止境，一個(gè)數(shù)學(xué)問題可以衍生出很多不同數(shù)學(xué)方向的問題，下面筆者拋磚引玉，給出關(guān)于本文中探究1和探究2中還能繼續(xù)探究下去的幾個(gè)數(shù)學(xué)問題，希望可以激發(fā)同行之間的探究興趣，相互交流．

問題1當(dāng)A,B兩點(diǎn)的連線與l平行時(shí)，能作幾個(gè)圓過A,B兩點(diǎn)且與l相切？圓的個(gè)數(shù)與什么有關(guān)？

問題2把探究2中的拋物線換成橢圓與雙曲線，其他條件不變，可以得到什么結(jié)論？能否推廣到整個(gè)圓錐曲線系里？