觀察 思考 表達
——“打印紙中的數(shù)學”教學實錄與反思

姜曉剛 (江蘇省連云港市新海實驗中學 222000)

1 基本情況

1.1 授課對象

本校九年級18班的學生，基礎(chǔ)較好，思維活躍，發(fā)言踴躍．

1.2 教材分析

“打印紙中的數(shù)學”是蘇科版配套的《數(shù)學實驗手冊》(八年級上冊)的一節(jié)數(shù)學實驗課，是為八年級上冊“4.3 實數(shù)”而設(shè)計的．通過對A4紙的長與寬的估計、度量、折疊等活動，探索A4紙長與寬的比值，感受無理數(shù)的存在．考慮到八年級學生的知識、經(jīng)驗和能力水平的限制，在活動中僅僅停留在猜 想和感受的層面，缺乏對A型打印紙的數(shù)學的整 體感知和本質(zhì)的認識．鑒于發(fā)現(xiàn)和解決問題需要的知識、能力、思想和活動經(jīng)驗，故選擇了九年級的學生．

教學目標 (1)經(jīng)歷“打印紙中的數(shù)學”探究過程，尋求用已有的知識和經(jīng)驗解決生活實際問題， 體驗感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)和問題解決的快樂；(2)能用數(shù)學眼光觀察、用數(shù)學思維思考、用數(shù)學語言表達； (3)手腦協(xié)同，啟思明理．

教學重點 引導學生通過自主探索和合作討論，探索A型打印紙的長與寬的比值．

教學難點 問題的發(fā)現(xiàn)、提出與分析、解決．

2 教學過程

課前5分鐘，教師將A4包裝袋內(nèi)的A4紙抽出部分，發(fā)給學生，每人一張；將A3包裝袋內(nèi)的A3紙抽出部分，發(fā)給學生，每兩人一張．

·片斷1——創(chuàng)設(shè)情境

師：同學們，這是一張A4打印紙，在我們的工作學習中經(jīng)常用到，甚至外國的朋友們也經(jīng)常用到它．它如此流行通用，勢必蘊藏著許多秘密，今天我們就從數(shù)學的角度去探尋打印紙中的秘密．(教師板書課題：打印紙中的數(shù)學)

師：我們從哪里入手呢？

生1：形狀、大小和位置．

生2：周長、面積、體積．

生3：長、寬、高．

師：這張A4紙的形狀是矩形，位置是在各人的手中，厚度(高)太小，看來應(yīng)該從長、寬入手，有了長與寬，就有了周長、面積等．這張A4紙多長、多寬呢？

生4：量呀！

(學生忙碌度量中……)

師：(板書最終公認的度量結(jié)果) 長297 mm，寬210 mm．

師：哎，缺少細致的觀察就會多走彎路！哪位同學能夠不用測量就知道這張A4紙的長寬的數(shù)值？

(學生們沉默……教師有意識地拿起A4紙的包裝袋，緩慢地從中抽出一張A4紙)

生5：(興奮地叫道)老師，包裝袋上應(yīng)該標有長寬的數(shù)據(jù)．

(一生鼓掌，之后學生們一齊鼓掌)

·片斷2——引發(fā)猜想

師：大家看到長、寬的數(shù)值，似乎看不出什么端倪．難道秘密隱藏在長與寬的運算中？

(板書)長 + 寬、長 - 寬、長 × 寬、長/寬、寬/長．

共同計算對應(yīng)的數(shù)值： 507, 87, 62 370, 1.414 2 …, 0.707 07 ….

(越來越多的學生點頭稱是)

·片斷3——折疊驗證

師：(晃了晃手中的A4紙)既然有了猜想，那么該如何驗證呢？

(一小會兒后)

生7：我知道了，用三張紙像這樣一拼就可以了．

師：請你上黑板講給我們聽聽．

在掌聲中生7上了講臺，并在黑板上用磁鐵塊訂住了如圖1所示的三張A4紙片．

圖1

師：生7不僅僅是驗證了這個猜想，更重要的是還交待了怎樣想的思路，很棒！

師：給大家出個難題，如果只用手里的這張A4紙該如何驗證這個猜想呢？

生8：(接嘴道)折疊唄！

師：怎么折？怎么疊？

(眾生又無限忙碌中……)

生9：老師，我上去講吧！

(生9急不可待地跑上了講臺，展示中手中的紙，很興奮地講解著……)

師：剛才生9講的驗證方法，你聽明白了？與你的思路相同嗎？

其實通過邊折紙邊講解的形式很直觀，但不夠通俗易懂，我們需要將這個講解過程用數(shù)學的方式來呈現(xiàn)，通過數(shù)學語言來表達和交流．

師：剛才生9講的，應(yīng)該這樣來呈現(xiàn)——如圖2，將長方形ABCD沿著AE折疊，使得點B落在AD上，展開復(fù)原，得折痕AE；再沿著AF折疊，使得 點D與點E重合，展開復(fù)原，得折痕AF．

圖2 圖3

這種折疊驗證的思路是：先構(gòu)造一個以A4紙的寬AB為腰的等腰直角三角形ABE，再驗證A4紙的長AD是否與AE重合即可．

這樣通過文字語言、符號語言、圖形語言的綜合表達和交流，可以數(shù)學化地說明和解決問題．

師：還有同學有不同的驗證思路嗎？

不一會兒，有學生提出了如圖3的折疊驗證思路(即構(gòu)造一個以A4紙的長AD為腰的等腰直角三角形AGD，再驗證A4紙的寬AB是否與AG重合)．

·片斷4——類比探究

師：同學們，除了A4紙，我們還經(jīng)常用到A3紙，A3紙里又有怎樣的數(shù)學秘密？

(師從A3紙的包裝袋內(nèi)抽出一張，用磁鐵訂在黑板上)

生10：用與A4紙同樣方法進行探究．

師：那我們還從度量A3紙的長與寬開始．

生11：不用，應(yīng)該去A3紙的包裝袋上找長與寬的數(shù)據(jù)．

生13：找到長與寬的數(shù)據(jù)，驗算一下不就行了嗎？

生14：我將手里的A3紙對折后，似乎和A4紙一樣大．

生15：對的，我將兩張A4紙長邊對接拼成的紙片與A3紙一樣大．

師：請你按照自己設(shè)想的方式對A3紙進行操作、猜測和驗證．

(過了一會兒，請生16上講臺)

圖4

師：生16居然能通過A4 紙的長與寬的關(guān)系計算出A3 紙的長與寬的關(guān)系，而不是通過折疊驗證，真的體現(xiàn)了數(shù)學思維的價值和數(shù)學計算的價值．

師：請大家根據(jù)A3, A4紙的認識，來推測A5紙的長和寬及長與寬的比.

生17：A3紙對折是A4紙，那么A4紙對折是A5 紙．

生18：要強調(diào)是這樣對折，不能是那樣對折(邊說邊用A4紙演示).

師：為什么得這樣對折(沿著A4紙的長邊的中點的連線對折)？

生18：這樣對折后，跟A4紙像，如果那樣對折后，紙片就很難看了，沒見過．

生19：我認為A3紙怎么對折得到A4紙，那么A4紙就應(yīng)該怎么對折得到A5紙，這個應(yīng)該叫折紙的延續(xù)性．

生20：我計算了，A5 紙的長應(yīng)該是210 mm，寬應(yīng)該是148.5 mm．

師：標準的A5紙的生產(chǎn)規(guī)格是長210 mm、寬148 mm，可能是不需要也沒必要精確到0.5 mm吧！那長與寬的比值還是嗎？

生21：用210除以148就知道是不是的了．

·片斷5——課外拓展

其實常用的A3, A4紙僅僅是A型打印紙的常見的兩個型號，向上還有A2, A1, A0 紙，向下還有A5, A6, A7, A8等型號的紙．

請同學們課后去破解這些打印紙中的數(shù)學秘密吧！

3 回顧與反思

3.1 教學設(shè)計的立意

本節(jié)為數(shù)學實驗教學課，整節(jié)課以“做”為支架進行數(shù)學學習，經(jīng)歷較為完整的探究“打印紙中的數(shù)學”的活動過程，通過動手操作、動腦思考的思維活動，手腦協(xié)同、啟思明理，有效地促進學生思維的發(fā)展，較好地體現(xiàn)了過程與結(jié)果、操作與思維、實驗與論證的統(tǒng)一，使得學生在獲得數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進步與發(fā)展．

3.2 教學反思

(1)用數(shù)學的眼光去觀察

(2)用數(shù)學的思維去分析

(3)用數(shù)學的語言去表達

數(shù)學實驗?zāi)軒椭鷮W生用數(shù)學的語言去表達．數(shù)學有自己的文字語言、圖形語言和符號語言，用數(shù)學語言進行交流和表達，有助于對問題的數(shù)學本質(zhì)的認識、揭示和演繹．本節(jié)課中，教師見到學生用手中的折紙進行驗證性表述時，就適時引導學生用規(guī)范的圖形語言和符號語言進行表達和演繹，后來學生在計算A3紙的長與寬的比值時就能自覺地運用圖形和符號進行計算和表達．

在“觀察—思考—表達”的數(shù)學實驗教學中，學生經(jīng)歷了“觀察—猜測—操作—驗證—歸納”的探究過程，感悟到“知識是怎么來的”“知識是什么”和“知識是怎么去的”，領(lǐng)會了“如何研究”“怎樣發(fā)現(xiàn)”的方法途徑，通過多種感官參與的認知活動，在問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決的過程中，促進了學生思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的提高，體現(xiàn)了在課堂教學中對形成學生數(shù)學核心素養(yǎng)的思考與落實．