數學歸納法及其應用數學歸納法及其應用

倪雙云 李國賢 梁沛繁

摘 要：近年來，教育改革的發展越來越重視對學生學習能力和專業能力的培養。新課標要求教師要創新自己的教學模式，從學生的角度進行教學，真正地提高學生的邏輯能力。數學是一門重要的學科，需要學生有足夠的分析能力和總結問題的能力，讓他們可以全面掌握復雜的數學知識點。數學歸納法是解決數學問題十分關鍵的一種方法，對于數學學習有著重要的意義。本文分析了數學歸納法的概念，并總結了歸納法在數學學習中的應用。

關鍵詞：數學歸納法;應用數學歸納法;應用

數學歸納法是應用十分廣泛的一種數學學習方法，在不等式證明、數列通項以及其他證明題目中都有涉及。數學歸納法是一種邏輯推理的方法，可以將歸納原理和學生的邏輯思維能力結合，不僅在證明題目中有涉及，在其他的數學領域內應用也十分廣泛[1]。在解題過程中運用數學歸納法，不僅可以降低題目的難度，簡化計算的過程，還可以讓學生深入理解數學的本質問題，提高學生解決數學問題的能力。

一、數學歸納法的概念

數學歸納法是數學證明方法的一種，可以證明許多既定命題在自然數的范圍內是否成立，且在數學的各個知識領域中都有涉及。除自然數外，數學歸納法也可以證明一般良基結構[3]。數學歸納法在應用中十分靈活，有利于學生數學學習。

最常見的數學歸納法是證明當n等于任意一個自然數時某命題成立。證明當n=1時命題成立。假設n=m時命題成立，那么可以推導出在n=m+1時命題也成立。這種方式的原理是首先要證明在某個起點數值時命題成立，然后證明數值的過程。當這兩點都得到證明以后，那么任意的數值都可以通過數學歸納法得出結論。

二、數學歸納法的應用

（一）數學歸納法在數列中的應用

數學歸納法在證明題目中運用十分廣泛，在解決題目時要主動利用數學歸納法進行思考。用數學歸納法證明：（3n+1）×7n -1（n∈N*）可以被9整除。我們可以用兩種方法進行證明。第一種方法，令f（1）=（3n+1）×7n-1（n∈N*），（1）f（1）=（3×1+1）×7l-1=27 能被9整除。（2）假設f（k）（n∈N*）能被9整除，所以f（k+1）- f（k）= [（3k+4）×7k+1-1]-[（3k+1）×7k-1]=9（2k+3）×7k。所以，f（k+1）=f（k）+ 9（2k+3）×7k能被9整除。從這兩個推理結果可以知道，對一切n∈N*，命題都是成立的。第二種方法，（1）n=1，原式=4×7-1=27可以被9整除（2）若n=k（k≥1，k∈N*），（3k+1）×7*-1可以被9整除，所以n=k+1時，[3（k+1）+1]×7k+1-1=[（3k+1）+3]（1+6）×7k-1=（3k+1）×7k-1+（3k+1）×6×7k +21×7k=[（3k+1）×7k-1]+18k×7k +27×7k。所以，n=k+1時也可以整除。從我們的計算中國可以得出，對任何n∈N*，（3n+1）×7n-1可以被9整除。通過利用數學歸納法進行證明整除性問題，我們要進行湊項，通過增加項與減少項、拆分項和因式分解等方式去拼湊出n=k的項，從而利用數學歸納法進行題目的計算，使設想得到證明。通過在數列中運用數學歸納法，可以加深印象，了解數學的本質。

（二）數學歸納法在不等式中的應用

三、結語

綜上所述，數學歸納法不僅是數學證明題中的解決方法，還是掌握數學原理和數學規律的重要方法。教師通過數學歸納法進行教學，可以引導學生深入了解數學本質的問題，從根部掌握數學知識，提高自身解決問題的能力。同時教師應該對數學歸納法進行研究，分析總結出適合利用數學歸納法的題型，探究數學歸納法的本質，讓學生能夠更好地掌握數學歸納法，高效率地解決數學問題。

參考文獻

[1]淮旭鴿，鄧仕超，李彩林，王偉強，莊未，黃用華.數學歸納法在平面機構自由度公式中的應用[J].智庫時代，2018（40）：111-113.

[2]甘志國.數學歸納法的一個應用——探究“用天平找次品”的一般規律[J].中學數學研究（華南師范大學版），2013（09）：37-38.

[3]張鴻超.淺析數學方法在中學數學解題過程中的應用[J].陰山學刊（自然科學版），2014，28（01）：95-98.